Номер 12, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 12, страница 114.

Условие.

12. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $nx^2 - 5x + 3 = 0$ связаны соотношением

$x_1^{-3} + x_2^{-3} = 1\frac{8}{27}$. Определите $n$.

Решение.

Решение 2.

Дано квадратное уравнение $nx^2 - 5x + 3 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию, это уравнение должно быть квадратным, следовательно, $n \ne 0$. Также оно должно иметь действительные корни, поэтому его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D = (-5)^2 - 4 \cdot n \cdot 3 = 25 - 12n \ge 0$. Отсюда получаем условие для $n$: $12n \le 25 \implies n \le \frac{25}{12}$.

Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{n} = \frac{5}{n}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{n}$

Теперь преобразуем данное в задаче соотношение: $x_1^{-3} + x_2^{-3} = 1\frac{8}{27}$. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{8}{27} = \frac{1 \cdot 27 + 8}{27} = \frac{35}{27}$. Левая часть равенства представляет собой: $x_1^{-3} + x_2^{-3} = \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}$ Приводя дроби к общему знаменателю, получаем: $\frac{x_2^3 + x_1^3}{x_1^3 x_2^3} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1 x_2)^3}$

Для дальнейших преобразований нам понадобится выразить сумму кубов корней $x_1^3 + x_2^3$ через их сумму и произведение. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$. Применительно к нашим корням: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3(x_1x_2)(x_1+x_2)$.

Подставим в это выражение соотношения из теоремы Виета: $x_1^3 + x_2^3 = \left(\frac{5}{n}\right)^3 - 3\left(\frac{3}{n}\right)\left(\frac{5}{n}\right) = \frac{125}{n^3} - \frac{45}{n^2}$. Приводя к общему знаменателю $n^3$, получаем: $x_1^3 + x_2^3 = \frac{125 - 45n}{n^3}$.

Теперь подставим полученное выражение и выражение для произведения корней в исходное соотношение: $\frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1 x_2)^3} = \frac{\frac{125 - 45n}{n^3}}{(\frac{3}{n})^3} = \frac{\frac{125 - 45n}{n^3}}{\frac{27}{n^3}} = \frac{35}{27}$.

Так как $n \ne 0$, мы можем сократить $n^3$ в числителе и знаменателе левой части: $\frac{125 - 45n}{27} = \frac{35}{27}$. Умножим обе части уравнения на 27: $125 - 45n = 35$. Решим полученное линейное уравнение: $45n = 125 - 35$ $45n = 90$ $n = \frac{90}{45}$ $n = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n=2$ условию существования действительных корней: $n \le \frac{25}{12}$. Так как $\frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}$, то условие $2 \le 2\frac{1}{12}$ выполняется.

Ответ: $n=2$.