Номер 8, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 8, страница 113.

Условие.

8. Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных (m, n — целые числа):

a) $\frac{3^{m+1} \cdot 0.2^{-n-3} - 3^{m-2} \cdot 0.2^{-n-5}}{3^{m-2} \cdot 5^{n+1}}$

б) $\frac{7^m \cdot 0.5^{-3n}}{7^{m-1} \cdot 8^n - 7^m \cdot 2^{3n-1}}$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $m$ и $n$, мы упростим его. Исходное выражение:

$ \frac{3^{m+1} \cdot 0,2^{-n-3} - 3^{m-2} \cdot 0,2^{-n-5}}{3^{m-2} \cdot 5^{n+1}} $

Сначала преобразуем десятичную дробь $0,2$ в степень числа 5:

$ 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} $

Подставим это в выражение:

$ \frac{3^{m+1} \cdot (5^{-1})^{-n-3} - 3^{m-2} \cdot (5^{-1})^{-n-5}}{3^{m-2} \cdot 5^{n+1}} $

Упростим показатели степеней, используя свойство $(a^x)^y = a^{xy}$:

$ (5^{-1})^{-n-3} = 5^{(-1) \cdot (-n-3)} = 5^{n+3} $

$ (5^{-1})^{-n-5} = 5^{(-1) \cdot (-n-5)} = 5^{n+5} $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{3^{m+1} \cdot 5^{n+3} - 3^{m-2} \cdot 5^{n+5}}{3^{m-2} \cdot 5^{n+1}} $

Вынесем в числителе за скобки общий множитель с наименьшими показателями степеней. Для основания 3 это $3^{m-2}$, а для основания 5 это $5^{n+3}$.

$ 3^{m+1} = 3^{m-2+3} = 3^{m-2} \cdot 3^3 $

$ 5^{n+5} = 5^{n+3+2} = 5^{n+3} \cdot 5^2 $

Числитель преобразуется к виду:

$ 3^{m-2} \cdot 3^3 \cdot 5^{n+3} - 3^{m-2} \cdot 5^{n+3} \cdot 5^2 = 3^{m-2} \cdot 5^{n+3} \cdot (3^3 - 5^2) $

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$ \frac{3^{m-2} \cdot 5^{n+3} \cdot (3^3 - 5^2)}{3^{m-2} \cdot 5^{n+1}} $

Сократим одинаковые множители $3^{m-2}$ и упростим степени с основанием 5:

$ \frac{5^{n+3}}{5^{n+1}} \cdot (3^3 - 5^2) = 5^{(n+3)-(n+1)} \cdot (27 - 25) = 5^2 \cdot 2 $

Вычислим полученное значение:

$ 25 \cdot 2 = 50 $

Значение выражения равно 50 и не зависит от $m$ и $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: 50.

б)

Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменных $m$ и $n$:

$ \frac{7^m \cdot 0,5^{-3n}}{7^{m-1} \cdot 8^n - 7^m \cdot 2^{3n-1}} $

Преобразуем числа $0,5$ и $8$ в степени с основанием 2:

$ 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $

$ 8 = 2^3 $

Подставим эти значения в выражение. Числитель:

$ 7^m \cdot (2^{-1})^{-3n} = 7^m \cdot 2^{3n} $

Знаменатель:

$ 7^{m-1} \cdot (2^3)^n - 7^m \cdot 2^{3n-1} = 7^{m-1} \cdot 2^{3n} - 7^m \cdot 2^{3n-1} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{7^m \cdot 2^{3n}}{7^{m-1} \cdot 2^{3n} - 7^m \cdot 2^{3n-1}} $

Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель с наименьшими показателями степеней. Для основания 7 это $7^{m-1}$, а для основания 2 это $2^{3n-1}$.

$ 7^{m-1} \cdot 2^{3n} = 7^{m-1} \cdot (2^{3n-1} \cdot 2^1) $

$ 7^m \cdot 2^{3n-1} = (7^{m-1} \cdot 7^1) \cdot 2^{3n-1} $

Знаменатель преобразуется к виду:

$ 7^{m-1} \cdot 2^{3n-1} \cdot 2 - 7^{m-1} \cdot 7 \cdot 2^{3n-1} = 7^{m-1} \cdot 2^{3n-1} \cdot (2-7) $

Подставим преобразованный знаменатель в дробь:

$ \frac{7^m \cdot 2^{3n}}{7^{m-1} \cdot 2^{3n-1} \cdot (2-7)} $

Сократим дробь, используя свойство $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:

$ \frac{7^m}{7^{m-1}} \cdot \frac{2^{3n}}{2^{3n-1}} \cdot \frac{1}{2-7} = 7^{m-(m-1)} \cdot 2^{3n-(3n-1)} \cdot \frac{1}{-5} $

$ = 7^1 \cdot 2^1 \cdot \frac{1}{-5} = \frac{14}{-5} $

Вычислим полученное значение:

$ -\frac{14}{5} = -2,8 $

Значение выражения равно -2,8 и не зависит от $m$ и $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: -2,8.