Номер 7, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 7, страница 113.

Условие.

7. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

а) $(cd^{-2} - c^{-2}d) \cdot (d^{-1} - c^{-1})^{-1} = $

б) $(a^{-2}(a - b) - b^{-2}(a - b)) \cdot ab(a - b)^{-3} = $

Решение.

Решение 2.

a) $(cd^{-2} - c^{-2}d) \cdot (d^{-1} - c^{-1})^{-1}$

1. Перепишем выражение, используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$(c \cdot \frac{1}{d^2} - \frac{1}{c^2} \cdot d) \cdot (\frac{1}{d} - \frac{1}{c})^{-1} = (\frac{c}{d^2} - \frac{d}{c^2}) \cdot (\frac{1}{d} - \frac{1}{c})^{-1}$

2. Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $c^2d^2$:

$\frac{c}{d^2} - \frac{d}{c^2} = \frac{c \cdot c^2}{d^2 \cdot c^2} - \frac{d \cdot d^2}{c^2 \cdot d^2} = \frac{c^3 - d^3}{c^2d^2}$

3. Упростим выражение во второй скобке. Сначала приведем дроби к общему знаменателю $cd$, а затем возведем в степень -1 (то есть, перевернем дробь):

$(\frac{1}{d} - \frac{1}{c})^{-1} = (\frac{c}{cd} - \frac{d}{cd})^{-1} = (\frac{c - d}{cd})^{-1} = \frac{cd}{c - d}$

4. Перемножим полученные выражения:

$(\frac{c^3 - d^3}{c^2d^2}) \cdot (\frac{cd}{c - d})$

5. Разложим числитель первой дроби на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{(c - d)(c^2 + cd + d^2)}{c^2d^2} \cdot \frac{cd}{c - d}$

6. Сократим общие множители $(c-d)$ и $cd$:

$\frac{\cancel{(c - d)}(c^2 + cd + d^2)}{c^{\cancel{2}}d^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{c}\cancel{d}}{\cancel{c - d}} = \frac{c^2 + cd + d^2}{cd}$

Ответ: $\frac{c^2 + cd + d^2}{cd}$

б) $(a^{-2}(a-b) - b^{-2}(a-b)) \cdot ab(a-b)^{-3}$

1. В первой скобке вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(a^{-2} - b^{-2}) \cdot ab(a-b)^{-3}$

2. Перепишем выражение, используя определение степени с отрицательным показателем:

$(a-b)(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}) \cdot ab \cdot \frac{1}{(a-b)^3}$

3. Упростим выражение в скобках $(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$, приведя дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

4. Подставим полученное выражение обратно:

$(a-b) \cdot \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{(a-b)^3}$

5. Разложим числитель $b^2 - a^2$ по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Обратим внимание, что $b-a = -(a-b)$:

$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) = -(a-b)(a+b)$

6. Подставим и объединим все в одну дробь:

$\frac{(a-b) \cdot (-(a-b)(a+b)) \cdot ab}{a^2b^2 \cdot (a-b)^3} = \frac{-(a-b)^2(a+b)ab}{a^2b^2(a-b)^3}$

7. Сократим общие множители $(a-b)^2$ и $ab$:

$\frac{-\cancel{(a-b)^2}(a+b)\cancel{ab}}{\cancel{a^2b^2}_{ab}(a-b)^{\cancel{3}}} = \frac{-(a+b)}{ab(a-b)}$

Ответ: $\frac{-(a+b)}{ab(a-b)}$