Номер 3, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 3, страница 111.

Условие.

3. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{(3^2)^6 \cdot (3^{-4})^3}{9^2} = $ ...

б) $ 16^{-4} \cdot 4^3 : 2^{-7} = $ ...

в) $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \cdot 81^{-4} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{-5} = $ ...

г) $ (0,04^{-3})^{-2} \cdot 125^{-1} \cdot (25^{-3})^{-2} = $ ...

Решение.

Решение 2.

а) $ \frac{(3^2)^6 \cdot (3^{-4})^3}{9^2} $
Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $, $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
1. Упростим числитель. Возведем степени в степень, перемножая показатели:
$ (3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12} $
$ (3^{-4})^3 = 3^{-4 \cdot 3} = 3^{-12} $
Теперь перемножим полученные степени, складывая их показатели:
$ 3^{12} \cdot 3^{-12} = 3^{12 + (-12)} = 3^0 = 1 $.
2. Упростим знаменатель. Представим 9 как степень числа 3 ($ 9 = 3^2 $):
$ 9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 $.
3. Разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} $.
Ответ: $ \frac{1}{81} $.

б) $ 16^{-4} \cdot 4^3 : 2^{-7} $
Приведем все основания степеней к одному числу — 2.
$ 16 = 2^4 $
$ 4 = 2^2 $
Подставим эти значения в исходное выражение:
$ (2^4)^{-4} \cdot (2^2)^3 : 2^{-7} $
Упростим степени, перемножая показатели:
$ 2^{4 \cdot (-4)} \cdot 2^{2 \cdot 3} : 2^{-7} = 2^{-16} \cdot 2^6 : 2^{-7} $
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении — вычитаются:
$ 2^{-16 + 6} : 2^{-7} = 2^{-10} : 2^{-7} = 2^{-10 - (-7)} = 2^{-10 + 7} = 2^{-3} $.
Вычислим конечный результат:
$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} $.

в) $ (\frac{1}{3})^{-3} \cdot 81^{-4} \cdot (\frac{1}{27})^{-5} $
Приведем все основания степеней к одному числу — 3. Используем свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.
$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $
$ 81 = 3^4 $
$ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} $
Подставим значения в выражение:
$ (3^{-1})^{-3} \cdot (3^4)^{-4} \cdot (3^{-3})^{-5} $
Упростим степени, перемножая показатели:
$ 3^{(-1) \cdot (-3)} \cdot 3^{4 \cdot (-4)} \cdot 3^{(-3) \cdot (-5)} = 3^3 \cdot 3^{-16} \cdot 3^{15} $
Сложим показатели степеней:
$ 3^{3 - 16 + 15} = 3^2 $.
Вычислим результат:
$ 3^2 = 9 $.
Ответ: 9.

г) $ (0,04^{-3})^{-2} \cdot 125^{-1} \cdot (25^{-3})^{-2} $
Сначала упростим степени, в которые возводятся скобки:
$ (0,04^{-3})^{-2} = 0,04^{(-3) \cdot (-2)} = 0,04^6 $
$ (25^{-3})^{-2} = 25^{(-3) \cdot (-2)} = 25^6 $
Выражение принимает вид: $ 0,04^6 \cdot 125^{-1} \cdot 25^6 $.
Приведем все основания к одному числу — 5.
$ 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2} $
$ 125 = 5^3 $
$ 25 = 5^2 $
Подставим эти значения в выражение:
$ (5^{-2})^6 \cdot (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^6 $
Упростим степени, перемножая показатели:
$ 5^{-2 \cdot 6} \cdot 5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 6} = 5^{-12} \cdot 5^{-3} \cdot 5^{12} $
Сложим показатели степеней:
$ 5^{-12 - 3 + 12} = 5^{-3} $.
Вычислим результат:
$ 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} $.
Ответ: $ \frac{1}{125} $.