Номер 13, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 13, страница 109.

Условие.

13. Корни уравнения $2x^2 - nx + 3 = 0$ связаны соотношением $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 1\frac{4}{9}$. Определите $n$.

Закончите решение:

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = \frac{n}{2}; \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}; \end{array} \right. x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2};$

Решение.

Решение 2.

Закончите решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для заданного квадратного уравнения $2x^2 - nx + 3 = 0$. Сумма и произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равны:
$x_1 + x_2 = -(\frac{-n}{2}) = \frac{n}{2}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}$

Далее, преобразуем данное в условии соотношение $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 1\frac{4}{9}$, чтобы выразить его через сумму и произведение корней, как это уже было начато в условии:
$x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2}$

Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней:
$\frac{(\frac{n}{2})^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{\frac{n^2}{4} - 3}{\frac{9}{4}}$

Упростим полученное выражение. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на 4:
$\frac{(\frac{n^2}{4} - 3) \cdot 4}{(\frac{9}{4}) \cdot 4} = \frac{n^2 - 12}{9}$

Приравняем результат к значению из условия. Сначала переведем смешанную дробь $1\frac{4}{9}$ в неправильную:
$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$
Теперь составим уравнение:
$\frac{n^2 - 12}{9} = \frac{13}{9}$

Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители:
$n^2 - 12 = 13$
$n^2 = 13 + 12$
$n^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим возможные значения $n$:
$n = \pm\sqrt{25}$
$n_1 = 5$, $n_2 = -5$

Необходимо также убедиться, что при этих значениях $n$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D = (-n)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = n^2 - 24 \ge 0$.
При $n = \pm 5$, $D = (\pm 5)^2 - 24 = 25 - 24 = 1$.
Поскольку $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, оба найденных значения $n$ подходят.

Ответ: $n = \pm 5$.