Номер 10, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 10, страница 107.

Условие.

10. Представьте в виде дроби выражение:

$a^{-3} + b^{-2} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 + a^3}{a^3b^2}$.

а) $xy^{-2} - xy^{-3} = $

б) $(a - 3b^{-2})(a^{-1} - 3b) = $

в) $(c^{-2} - d^{-2})(c - d)^{-1} = $

г) $(x^{-3} + a^{-3})(x + a)^{-1} = $

Решение.

Решение 2.

а) $xy^{-2} - xy^{-3}$
Для решения этого выражения, сначала преобразуем степени с отрицательными показателями в дроби, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$xy^{-2} - xy^{-3} = x \cdot \frac{1}{y^2} - x \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{x}{y^2} - \frac{x}{y^3}$
Далее, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $y^2$ и $y^3$ — это $y^3$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$:
$\frac{x \cdot y}{y^2 \cdot y} - \frac{x}{y^3} = \frac{xy}{y^3} - \frac{x}{y^3}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{xy - x}{y^3}$
В числителе можно вынести за скобки общий множитель $x$:
$\frac{x(y - 1)}{y^3}$
Ответ: $\frac{x(y - 1)}{y^3}$

б) $(a - 3b^{-2})(a^{-1} - 3b)$
Сначала преобразуем выражения с отрицательными степенями: $b^{-2} = \frac{1}{b^2}$ и $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$(a - \frac{3}{b^2})( \frac{1}{a} - 3b)$
Приведем к общему знаменателю выражения в каждой из скобок:
В первой скобке: $a - \frac{3}{b^2} = \frac{a \cdot b^2}{b^2} - \frac{3}{b^2} = \frac{ab^2 - 3}{b^2}$
Во второй скобке: $\frac{1}{a} - 3b = \frac{1}{a} - \frac{3b \cdot a}{a} = \frac{1 - 3ab}{a}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$(\frac{ab^2 - 3}{b^2}) \cdot (\frac{1 - 3ab}{a}) = \frac{(ab^2 - 3)(1 - 3ab)}{ab^2}$
Раскроем скобки в числителе, используя правило умножения многочленов:
$ab^2 \cdot 1 + ab^2 \cdot (-3ab) - 3 \cdot 1 - 3 \cdot (-3ab) = ab^2 - 3a^2b^3 - 3 + 9ab$
Запишем итоговое выражение в виде одной дроби:
$\frac{ab^2 - 3a^2b^3 + 9ab - 3}{ab^2}$
Ответ: $\frac{ab^2 - 3a^2b^3 + 9ab - 3}{ab^2}$

в) $(c^{-2} - d^{-2})(c - d)^{-1}$
Перепишем выражение, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(c^{-2} - d^{-2})(c - d)^{-1} = (\frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2}) \cdot \frac{1}{c-d}$
Преобразуем выражение в первых скобках, приведя его к общему знаменателю $c^2d^2$:
$\frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2} = \frac{d^2}{c^2d^2} - \frac{c^2}{c^2d^2} = \frac{d^2 - c^2}{c^2d^2}$
Подставим полученную дробь обратно в исходное выражение и перемножим:
$\frac{d^2 - c^2}{c^2d^2} \cdot \frac{1}{c-d} = \frac{d^2 - c^2}{c^2d^2(c-d)}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$d^2 - c^2 = (d - c)(d + c)$
$\frac{(d - c)(d + c)}{c^2d^2(c-d)}$
Заметим, что $d - c = -(c - d)$. Это позволяет нам сократить дробь:
$\frac{-(c - d)(d + c)}{c^2d^2(c-d)} = \frac{-(d+c)}{c^2d^2}$
Ответ: $-\frac{c+d}{c^2d^2}$

г) $(x^{-3} + a^{-3})(x + a)^{-1}$
Представим степени с отрицательными показателями в виде дробей:
$(x^{-3} + a^{-3})(x + a)^{-1} = (\frac{1}{x^3} + \frac{1}{a^3}) \cdot \frac{1}{x+a}$
Приведем к общему знаменателю $x^3a^3$ выражение в первых скобках:
$\frac{1}{x^3} + \frac{1}{a^3} = \frac{a^3}{x^3a^3} + \frac{x^3}{x^3a^3} = \frac{a^3 + x^3}{a^3x^3}$
Подставим полученное выражение обратно и выполним умножение:
$\frac{a^3 + x^3}{a^3x^3} \cdot \frac{1}{x+a} = \frac{a^3 + x^3}{a^3x^3(x+a)}$
Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$a^3 + x^3 = (a+x)(a^2 - ax + x^2)$
$\frac{(a+x)(a^2 - ax + x^2)}{a^3x^3(x+a)}$
Сократим общий множитель $(x+a)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a^2 - ax + x^2}{a^3x^3}$
Для стандартного вида, упорядочим члены в числителе:
$\frac{x^2 - ax + a^2}{a^3x^3}$
Ответ: $\frac{x^2 - ax + a^2}{a^3x^3}$