Номер 3, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 3, страница 105.

Условие.

3. При каком значении $x$ верно равенство $x^{-3} = 27$? Выберите верный ответ.

1. $x = 3$

2. $x = -3$

3. $x = \frac{1}{3}$

4. $x = -\frac{1}{3}$

Решение.

Решение 2.

Для решения уравнения $x^{-3} = 27$ необходимо найти значение $x$, при котором равенство будет верным. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем, которое гласит: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применив это свойство к левой части уравнения, мы получаем:

$\frac{1}{x^3} = 27$

Теперь нам нужно выразить $x^3$. Для этого можно поменять местами $x^3$ и $27$ (что эквивалентно умножению обеих частей на $x^3$ и делению на $27$), либо просто взять обратные величины для обеих частей уравнения:

$x^3 = \frac{1}{27}$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей равенства:

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$

Кубический корень из дроби равен отношению кубических корней из числителя и знаменателя:

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}$

Поскольку $1^3 = 1$ и $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$, то $\sqrt[3]{1} = 1$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Таким образом, получаем:

$x = \frac{1}{3}$

Это значение соответствует варианту ответа под номером 3. Проведем проверку, подставив $x = \frac{1}{3}$ в исходное уравнение:

$(\frac{1}{3})^{-3} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^3} = \frac{1}{\frac{1^3}{3^3}} = \frac{1}{\frac{1}{27}} = 1 \times 27 = 27$

Равенство $27 = 27$ истинно, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 3