Номер 7, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

41. Свойства функций у = k/x и y=√x. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 7, страница 104.

Условие.

7. Укажите область определения функции, заданной формулой:

a) $y = \sqrt{|5-x|-2x}$;

б) $y = 2x^4 - \sqrt{4-|x|}$.

Решение. Рассмотрим случаи $x \le 5$ и $x > 5$.

Решение.

Решение 2.

а) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{|5 - x| - 2x}$ необходимо, чтобы выражение под знаком корня было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$|5 - x| - 2x \ge 0$
$|5 - x| \ge 2x$
Для решения этого неравенства с модулем рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения $5 - x$.

1. Пусть $5 - x \ge 0$, что равносильно $x \le 5$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком "плюс": $|5 - x| = 5 - x$.
Неравенство принимает вид:
$5 - x \ge 2x$
$5 \ge 3x$
$x \le \frac{5}{3}$
Полученное решение $x \le \frac{5}{3}$ удовлетворяет условию этого случая ($x \le 5$), так как если число меньше или равно $\frac{5}{3}$, оно автоматически меньше 5. Следовательно, решением в первом случае является промежуток $(-\infty; \frac{5}{3}]$.

2. Пусть $5 - x < 0$, что равносильно $x > 5$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком "минус": $|5 - x| = -(5 - x) = x - 5$.
Неравенство принимает вид:
$x - 5 \ge 2x$
$-5 \ge x$
$x \le -5$
Теперь необходимо найти пересечение условия $x > 5$ и полученного решения $x \le -5$. Система неравенств $\begin{cases} x > 5 \\ x \le -5 \end{cases}$ не имеет решений.

Область определения функции является объединением решений, полученных в обоих случаях. Так как во втором случае решений нет, итоговая область определения совпадает с решением из первого случая.
Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{5}{3}]$.

б) Функция $y = 2x^4 - \sqrt{4 - |x|}$ состоит из двух слагаемых. Выражение $2x^4$ является многочленом и определено для всех действительных чисел $x$. Область определения всей функции ограничивается только выражением под знаком корня, которое должно быть неотрицательным.
$4 - |x| \ge 0$
Перенесем $|x|$ в правую часть:
$4 \ge |x|$
или
$|x| \le 4$
Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:
$-4 \le x \le 4$
Таким образом, область определения функции представляет собой отрезок от -4 до 4, включая концы.
Ответ: $D(y) = [-4; 4]$.