Номер 2, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

41. Свойства функций у = k/x и y=√x. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 2, страница 101.

Условие.

2. Функция задана формулой $y = \frac{6}{x}$. При каких значениях $x$:

а) функция принимает значение, равное 12

б) функция принимает значение, меньшее 3

в) функция принимает значение, большее 1,5?

Решение.

Решение 2.

а) функция принимает значение, равное 12

Чтобы найти значение $x$, при котором функция $y = \frac{6}{x}$ принимает значение 12, нужно подставить 12 вместо $y$ в формулу и решить полученное уравнение:

$12 = \frac{6}{x}$

Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения. Для этого можно поменять местами $x$ и 12:

$x = \frac{6}{12}$

$x = 0,5$

Ответ: $x = 0,5$.

б) функция принимает значение, меньшее 3

Нам нужно найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $y < 3$. Подставим формулу функции:

$\frac{6}{x} < 3$

Для решения этого неравенства перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6}{x} - 3 < 0$

$\frac{6 - 3x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $6 - 3x = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x = 0$ (знаменатель) всегда будет выколотой, точка $x=2$ (числитель) также будет выколотой, так как неравенство строгое. Эти точки делят ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{6 - 3x}{x}$ в каждом интервале:

• При $x > 2$, например $x = 3$: $\frac{6 - 3 \cdot 3}{3} = \frac{-3}{3} = -1 < 0$. Интервал $(2, +\infty)$ подходит.
• При $0 < x < 2$, например $x = 1$: $\frac{6 - 3 \cdot 1}{1} = \frac{3}{1} = 3 > 0$. Интервал $(0, 2)$ не подходит.
• При $x < 0$, например $x = -1$: $\frac{6 - 3 \cdot (-1)}{-1} = \frac{9}{-1} = -9 < 0$. Интервал $(-\infty, 0)$ подходит.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

в) функция принимает значение, большее 1,5?

Нам нужно найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $y > 1,5$. Подставим формулу функции:

$\frac{6}{x} > 1,5$

Перенесем 1,5 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6}{x} - 1,5 > 0$

$\frac{6 - 1,5x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $6 - 1,5x = 0 \implies 1,5x = 6 \implies x = \frac{6}{1,5} \implies x = 4$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки $x = 0$ и $x = 4$ на числовой оси. Обе точки выколотые. Они делят ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{6 - 1,5x}{x}$ в каждом интервале:

• При $x > 4$, например $x = 5$: $\frac{6 - 1,5 \cdot 5}{5} = \frac{6 - 7,5}{5} = \frac{-1,5}{5} < 0$. Интервал $(4, +\infty)$ не подходит.
• При $0 < x < 4$, например $x = 1$: $\frac{6 - 1,5 \cdot 1}{1} = \frac{4,5}{1} = 4,5 > 0$. Интервал $(0, 4)$ подходит.
• При $x < 0$, например $x = -1$: $\frac{6 - 1,5 \cdot (-1)}{-1} = \frac{7,5}{-1} = -7,5 < 0$. Интервал $(-\infty, 0)$ не подходит.

Таким образом, неравенство выполняется при $0 < x < 4$.

Ответ: $x \in (0; 4)$.