Номер 6, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

41. Свойства функций у = k/x и y=√x. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 6, страница 103.

Условие.

6. Найдите область определения функции:

а) $y=\frac{3}{1-\frac{5}{x+2}}$;

б) $y=\frac{7}{2-\frac{6}{2x-5}}$.

Решение.

Решение 2.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае мы имеем дело с дробями, а основное правило для дробей — знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

а) $y = \frac{3}{1 - \frac{5}{x+2}}$

Для нахождения области определения этой функции необходимо учесть два условия, при которых знаменатели могут обратиться в ноль.
1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{5}{x+2}$ не должен быть равен нулю:
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$
2. Знаменатель основной дроби $1 - \frac{5}{x+2}$ также не должен быть равен нулю:
$1 - \frac{5}{x+2} \neq 0$
Приведем к общему знаменателю или перенесем дробь вправо:
$1 \neq \frac{5}{x+2}$
Теперь, зная что $x+2 \neq 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $x+2$:
$1 \cdot (x+2) \neq 5$
$x + 2 \neq 5$
$x \neq 5 - 2$
$x \neq 3$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -2$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 3) \cup (3; +\infty)$.

б) $y = \frac{7}{2 - \frac{6}{2x-5}}$

Аналогично предыдущему примеру, найдем значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль, и исключим их из области определения.
1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{6}{2x-5}$ не должен быть равен нулю:
$2x - 5 \neq 0$
$2x \neq 5$
$x \neq \frac{5}{2}$ или $x \neq 2.5$
2. Знаменатель основной дроби $2 - \frac{6}{2x-5}$ не должен быть равен нулю:
$2 - \frac{6}{2x-5} \neq 0$
$2 \neq \frac{6}{2x-5}$
Умножим обе части неравенства на $(2x-5)$, так как мы уже установили, что $2x-5 \neq 0$:
$2(2x-5) \neq 6$
$4x - 10 \neq 6$
$4x \neq 6 + 10$
$4x \neq 16$
$x \neq \frac{16}{4}$
$x \neq 4$
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 2.5$ и $x = 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; 4) \cup (4; +\infty)$.