Номер 1, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

41. Свойства функций у = k/x и y=√x. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 1, страница 101.

Условие.

1. Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y = \frac{5}{x}$;

x

y

б) $y = -\frac{2}{x}$;

x

y

y

x

1

0

1

y

x

1

0

1

Решение.

Решение 2.

а) $y = \frac{5}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Для построения графика составим таблицу значений, выбрав удобные точки:

$x$	-5	-2.5	-2	-1	1	2	2.5	5
$y$	-1	-2	-2.5	-5	5	2.5	2	1

Построим график, отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями. Ветви гиперболы будут расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=5 > 0$. График симметричен относительно начала координат и имеет две асимптоты: ось Ox и ось Oy.

Свойства функции:

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \ne 0$).

2. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как дробь $\frac{5}{x}$ никогда не обращается в ноль.

3. Функция является нечётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется $y(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

4. Нули функции: отсутствуют. График не пересекает ось абсцисс (Ox).

5. Пересечение с осью ординат (Oy): отсутствует, так как $x=0$ не входит в область определения.

6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
- $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

7. Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков области определения, то есть на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

8. Асимптоты:
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).

Ответ: График функции $y = \frac{5}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Основные свойства функции перечислены выше.

---

б) $y = -\frac{2}{x}$

Это также функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	0.5	1	2	4	-4	-2	-1	-0.5

Построим график по точкам. Ветви гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях, так как коэффициент $k=-2 < 0$. График симметричен относительно начала координат и имеет две асимптоты: оси Ox и Oy.

Свойства функции:

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ ($x \ne 0$).

2. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ ($y \ne 0$).

3. Функция является нечётной, так как $y(-x) = -\frac{2}{-x} = \frac{2}{x} = -(-\frac{2}{x}) = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

4. Нули функции: отсутствуют. График не пересекает ось Ox.

5. Пересечение с осью Oy: отсутствует, так как $x \ne 0$.

6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$;
- $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

7. Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков области определения, то есть на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

8. Асимптоты:
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).

Ответ: График функции $y = -\frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Основные свойства функции перечислены выше.