Номер 8, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

40. Свойства линейной функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 8, страница 99.

Условие.

8. При каких значениях $b$ прямая $y = -4x + \frac{b}{2}$ образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 2?

Решение.

Решение 2.

Прямая, заданная уравнением $y = -4x + \frac{b}{2}$, образует с осями координат прямоугольный треугольник. Вершины этого треугольника — это начало координат (0,0), точка пересечения прямой с осью Ox и точка пересечения прямой с осью Oy. Чтобы треугольник существовал, прямая не должна проходить через начало координат, что означает $b \ne 0$.

Катеты этого прямоугольного треугольника лежат на осях координат. Найдем их длины, определив точки пересечения прямой с осями.

1. Пересечение с осью Oy (осью ординат):
Для нахождения этой точки подставим $x=0$ в уравнение прямой:
$y = -4 \cdot 0 + \frac{b}{2} = \frac{b}{2}$
Точка пересечения имеет координаты $(0, \frac{b}{2})$. Длина одного катета треугольника равна модулю ординаты этой точки: $a = |\frac{b}{2}|$.

2. Пересечение с осью Ox (осью абсцисс):
Для нахождения этой точки подставим $y=0$ в уравнение прямой:
$0 = -4x + \frac{b}{2}$
$4x = \frac{b}{2}$
$x = \frac{b}{8}$
Точка пересечения имеет координаты $(\frac{b}{8}, 0)$. Длина второго катета треугольника равна модулю абсциссы этой точки: $c = |\frac{b}{8}|$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ac$. По условию задачи, площадь равна 2. Подставим выражения для длин катетов и значение площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot |\frac{b}{2}| \cdot |\frac{b}{8}| = 2$

Упростим полученное уравнение:
$\frac{1}{2} \cdot |\frac{b^2}{16}| = 2$
Поскольку $b^2$ всегда неотрицательно, $|b^2| = b^2$.
$\frac{b^2}{32} = 2$

Теперь решим это уравнение относительно $b$:
$b^2 = 2 \cdot 32$
$b^2 = 64$
$b = \pm \sqrt{64}$
$b_1 = 8$, $b_2 = -8$.

Оба значения $b$ не равны нулю, следовательно, они являются решениями задачи.
Ответ: $b=8$ или $b=-8$.