Номер 5, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

41. Свойства функций у = k/x и y=√x. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 5, страница 103.

Условие.

5. Какова область определения функции, заданной формулой:

$y = \frac{\sqrt{3x + 6} + \sqrt{8 - x}}{4x}$; $\begin{cases} 3x + 6 \geq 0, \\ 8 - x \geq 0, \\ x \neq 0; \end{cases}$ $\begin{cases} 3x \geq -6, \\ x \leq 8, \\ x \neq 0; \end{cases}$ $\begin{cases} x \geq -2, \\ x \leq 8, \\ x \neq 0. \end{cases}$

Ответ: $[-2; 0) \cup (0; 8]$.

a) $y = \frac{\sqrt{16 - 2x} - \sqrt{x - 7}}{2x - 15};$

б) $y = \frac{\sqrt{17 + x} - \sqrt{5 - 2x}}{3x - 6}?$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{16 - 2x} - \sqrt{x - 7}}{2x - 15}$, необходимо учесть три условия, которые должны выполняться одновременно:
1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определён в действительных числах: $16 - 2x \ge 0$.
2. Аналогично, выражение под вторым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x - 7 \ge 0$.
3. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно: $2x - 15 \ne 0$.
Эти условия образуют систему:
$ \begin{cases} 16 - 2x \ge 0 \\ x - 7 \ge 0 \\ 2x - 15 \ne 0 \end{cases} $
Решим каждое условие системы:
1) $16 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -16 \implies x \le 8$.
2) $x - 7 \ge 0 \implies x \ge 7$.
3) $2x - 15 \ne 0 \implies 2x \ne 15 \implies x \ne 7.5$.
Теперь найдем пересечение полученных решений. Условия $x \le 8$ и $x \ge 7$ вместе определяют отрезок $[7; 8]$. Из этого отрезка необходимо исключить точку $x = 7.5$ в соответствии с третьим условием.
Таким образом, область определения функции является объединением двух промежутков.

Ответ: $[7; 7.5) \cup (7.5; 8]$.

б)

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{17 + x} - \sqrt{5 - 2x}}{3x - 6}$, необходимо решить систему из трёх условий:
1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $17 + x \ge 0$.
2. Выражение под вторым квадратным корнем также должно быть неотрицательным: $5 - 2x \ge 0$.
3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $3x - 6 \ne 0$.
Запишем и решим систему:
$ \begin{cases} 17 + x \ge 0 \\ 5 - 2x \ge 0 \\ 3x - 6 \ne 0 \end{cases} $
Решим каждое условие системы:
1) $17 + x \ge 0 \implies x \ge -17$.
2) $5 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -5 \implies x \le 2.5$.
3) $3x - 6 \ne 0 \implies 3x \ne 6 \implies x \ne 2$.
Объединим решения. Условия $x \ge -17$ и $x \le 2.5$ задают отрезок $[-17; 2.5]$. Из этого отрезка нужно исключить точку $x = 2$.
В итоге область определения функции представляет собой объединение двух промежутков.

Ответ: $[-17; 2) \cup (2; 2.5]$.