Номер 8, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

41. Свойства функций у = k/x и y=√x. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 8, страница 104.

Условие.

8. Функция задана формулой $f(x) = \sqrt{x^2 - 12}$. Докажите, что при

$a \ge \sqrt{3}$

$f\left(a + \frac{3}{a}\right) = a - \frac{3}{a}$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного утверждения необходимо подставить аргумент $x = a + \frac{3}{a}$ в формулу функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 12}$ и упростить полученное выражение.

1. Подставляем $a + \frac{3}{a}$ в функцию:

$f(a + \frac{3}{a}) = \sqrt{\left(a + \frac{3}{a}\right)^2 - 12}$

2. Раскроем квадрат суммы в подкоренном выражении:

$\left(a + \frac{3}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{3}{a} + \left(\frac{3}{a}\right)^2 = a^2 + 6 + \frac{9}{a^2}$

3. Подставим результат обратно под корень и упростим:

$\sqrt{\left(a^2 + 6 + \frac{9}{a^2}\right) - 12} = \sqrt{a^2 - 6 + \frac{9}{a^2}}$

4. Заметим, что выражение $a^2 - 6 + \frac{9}{a^2}$ является полным квадратом разности:

$a^2 - 6 + \frac{9}{a^2} = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{3}{a} + \left(\frac{3}{a}\right)^2 = \left(a - \frac{3}{a}\right)^2$

5. Таким образом, выражение для функции принимает вид:

$f\left(a + \frac{3}{a}\right) = \sqrt{\left(a - \frac{3}{a}\right)^2}$

6. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{y^2} = |y|$. Следовательно:

$\sqrt{\left(a - \frac{3}{a}\right)^2} = \left|a - \frac{3}{a}\right|$

7. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $a - \frac{3}{a}$, используя условие $a \ge \sqrt{3}$. Так как $a \ge \sqrt{3}$, то $a$ — положительное число.

Возведем обе части неравенства $a \ge \sqrt{3}$ в квадрат:

$a^2 \ge 3$

Перенесем 3 в левую часть:

$a^2 - 3 \ge 0$

Разделим обе части на $a > 0$ (знак неравенства не изменится):

$\frac{a^2 - 3}{a} \ge 0$

$a - \frac{3}{a} \ge 0$

8. Поскольку выражение $a - \frac{3}{a}$ является неотрицательным, модуль раскрывается со знаком плюс:

$\left|a - \frac{3}{a}\right| = a - \frac{3}{a}$

Таким образом, мы доказали, что при $a \ge \sqrt{3}$ выполняется равенство $f\left(a + \frac{3}{a}\right) = a - \frac{3}{a}$.

Ответ: Утверждение доказано.