Номер 5, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 5, страница 106.

Условие.

5. Вычислите:

а) $5^{-2} = \dots$

б) $(\frac{1}{3})^{-3} = \dots$

в) $(-4)^{-1} = \dots$

г) $(1\frac{1}{3})^{-2} = \dots$

д) $(-\frac{1}{2})^{-5} = \dots$

е) $(2\frac{1}{7})^{-1} = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы вычислить $5^{-2}$, воспользуемся определением степени с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого $a \neq 0$ и целого $n$. Применяя это правило, получаем: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Для вычисления $(\frac{1}{3})^{-3}$ используем свойство степени с отрицательным показателем для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Таким образом: $(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: $27$.

в) Выражение $(-4)^{-1}$ вычисляется по тому же правилу, что и в пункте а): $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Применяем правило: $(-4)^{-1} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г) Чтобы вычислить $(1\frac{1}{3})^{-2}$, сначала представим смешанное число $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби. $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Теперь возведем полученную дробь в степень $-2$, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. $(\frac{4}{3})^{-2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.

Ответ: $\frac{9}{16}$.

д) Для вычисления $(-\frac{1}{2})^{-5}$ воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. $(-\frac{1}{2})^{-5} = (-\frac{2}{1})^5 = (-2)^5$. Так как показатель степени нечетный ($5$), знак минус сохраняется. $(-2)^5 = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -32$.

Ответ: $-32$.

е) Чтобы вычислить $(2\frac{1}{7})^{-1}$, сначала переведем смешанное число $2\frac{1}{7}$ в неправильную дробь. $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$. Теперь воспользуемся свойством $a^{-1} = \frac{1}{a}$ (или $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$). $(\frac{15}{7})^{-1} = \frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$.