Номер 11, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 11, страница 108.

Условие.

11. Вычислите:

a) $(\frac{3}{7})^{-2} - (\frac{9}{14})^{-1} + 7 \cdot (2\frac{1}{4})^{-1} = $

б) $37 \cdot 6^{-2} - 3 \cdot (\frac{4}{7})^{-1} + 5 \cdot (1\frac{1}{2})^{-2} = $

Решение.

Решение 2.

а) Решим выражение $(\frac{3}{7})^{-2} - (\frac{9}{14})^{-1} + 7 \cdot (2\frac{1}{4})^{-1}$ по действиям.
Для вычислений воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
1. Вычислим первый член: $(\frac{3}{7})^{-2} = (\frac{7}{3})^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9}$.
2. Вычислим второй член: $(\frac{9}{14})^{-1} = (\frac{14}{9})^1 = \frac{14}{9}$.
3. Вычислим третий член: $7 \cdot (2\frac{1}{4})^{-1}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Тогда получим: $7 \cdot (\frac{9}{4})^{-1} = 7 \cdot \frac{4}{9} = \frac{28}{9}$.
4. Теперь объединим все полученные результаты:
$\frac{49}{9} - \frac{14}{9} + \frac{28}{9} = \frac{49 - 14 + 28}{9} = \frac{35 + 28}{9} = \frac{63}{9} = 7$.
Ответ: 7.

б) Решим выражение $37 \cdot 6^{-2} - 3 \cdot (\frac{4}{7})^{-1} + 5 \cdot (1\frac{1}{2})^{-2}$ по действиям.
Будем использовать свойства степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
1. Вычислим первый член: $37 \cdot 6^{-2} = 37 \cdot \frac{1}{6^2} = 37 \cdot \frac{1}{36} = \frac{37}{36}$.
2. Вычислим второй член: $3 \cdot (\frac{4}{7})^{-1} = 3 \cdot \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$.
3. Вычислим третий член: $5 \cdot (1\frac{1}{2})^{-2}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Тогда получим: $5 \cdot (\frac{3}{2})^{-2} = 5 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 5 \cdot \frac{2^2}{3^2} = 5 \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{9}$.
4. Подставим все значения обратно в выражение и приведем дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{37}{36} - \frac{21}{4} + \frac{20}{9} = \frac{37}{36} - \frac{21 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{20 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{37}{36} - \frac{189}{36} + \frac{80}{36}$.
5. Выполним сложение и вычитание числителей:
$\frac{37 - 189 + 80}{36} = \frac{-152 + 80}{36} = \frac{-72}{36} = -2$.
Ответ: -2.