Номер 9, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 9, страница 107.

Условие.

9. Вычислите:

а) $9 \cdot 3^{-4} = $

б) $100 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{-2} = $

в) $3^{-1} + 2^{-3} = $

г) $0,2^0 - 0,1^{-3} = $

д) $36 \cdot (-3)^{-2} = $

е) $15 : \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы вычислить $9 \cdot 3^{-4}$, представим число 9 в виде степени с основанием 3, то есть $9 = 3^2$. Затем воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$9 \cdot 3^{-4} = 3^2 \cdot 3^{-4} = 3^{2 + (-4)} = 3^{-2}$.
Теперь применим определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) Для вычисления выражения $100 \cdot (-\frac{1}{5})^{-2}$ сначала преобразуем степень с отрицательным показателем. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и учтем, что отрицательное число в четной степени становится положительным:
$(-\frac{1}{5})^{-2} = (-5)^2 = 25$.
Теперь выполним умножение:
$100 \cdot 25 = 2500$.
Ответ: 2500.

в) Чтобы вычислить сумму $3^{-1} + 2^{-3}$, преобразуем каждую степень с отрицательным показателем в дробь, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 24:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{8}{24} + \frac{3}{24} = \frac{8+3}{24} = \frac{11}{24}$.
Ответ: $\frac{11}{24}$.

г) Для вычисления разности $0,2^0 - 0,1^{-3}$ рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $0,2^0 = 1$.
Для второго слагаемого представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,1 = \frac{1}{10}$.
Теперь применим свойство степени с отрицательным показателем:
$0,1^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} = (\frac{10}{1})^3 = 10^3 = 1000$.
Вычислим разность:
$1 - 1000 = -999$.
Ответ: -999.

д) В выражении $36 \cdot (-3)^{-2}$ сначала вычислим степень. Степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2}$.
Так как показатель степени четный, результат будет положительным: $\frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$36 \cdot \frac{1}{9} = \frac{36}{9} = 4$.
Ответ: 4.

е) В выражении $15 : (\frac{1}{5})^{-3}$ сначала вычислим значение делителя. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{5})^{-3} = (\frac{5}{1})^3 = 5^3 = 125$.
Теперь выполним деление:
$15 : 125 = \frac{15}{125}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{15 : 5}{125 : 5} = \frac{3}{25}$.
Ответ: $\frac{3}{25}$.