Номер 14, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 14, страница 109.

Условие.

14. Вычислите:

а) $(3^{-1} + 5^{-1})^2 : (3^{-1} - 5^{-1})^2 =$

б) $(16^{-1} - 12^{-1}) : (16^{-1} + 12^{-1}) =$

в) $9,2^{-1} \cdot (7^{-1} + 4^{-2}) =$

г) $(0,2^{-1} - 0,4^{-1}) : (3 \cdot 0,1^{-1} + 0,3^{-1}) =$

Решение.

Решение 2.

а) $(3^{-1} + 5^{-1})^2 : (3^{-1} - 5^{-1})^2$

1. Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Тогда $3^{-1} = \frac{1}{3}$ и $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

2. Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\frac{1}{3} + \frac{1}{5})^2 : (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})^2$

3. Воспользуемся свойством частного степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. Это позволит упростить вычисления.
Выражение можно переписать так: $(\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{5}})^2$

4. Вычислим числитель и знаменатель дроби внутри скобок, приводя дроби к общему знаменателю 15.
Числитель: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$.
Знаменатель: $\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$.

5. Подставим полученные дроби и выполним деление:
$(\frac{\frac{8}{15}}{\frac{2}{15}})^2 = (\frac{8}{15} \cdot \frac{15}{2})^2$

6. Сократим дроби внутри скобок и возведем в квадрат:
$(\frac{8}{2})^2 = 4^2 = 16$.

Ответ: 16

б) $(16^{-1} - 12^{-1}) : (16^{-1} + 12^{-1})$

1. Преобразуем степени с отрицательным показателем:
$16^{-1} = \frac{1}{16}$ и $12^{-1} = \frac{1}{12}$.

2. Вычислим значение в первой скобке (делимое). Найдем общий знаменатель для 16 и 12. НОК(16, 12) = 48.
$\frac{1}{16} - \frac{1}{12} = \frac{3}{48} - \frac{4}{48} = -\frac{1}{48}$.

3. Вычислим значение во второй скобке (делитель):
$\frac{1}{16} + \frac{1}{12} = \frac{3}{48} + \frac{4}{48} = \frac{7}{48}$.

4. Выполним деление полученных значений:
$(-\frac{1}{48}) : (\frac{7}{48}) = -\frac{1}{48} \cdot \frac{48}{7}$.

5. Сократим 48 и получим результат:
$-\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{1}{7}$

в) $9,2^{-1} \cdot (7^{-1} + 4^{-2})$

1. Преобразуем все числа в выражении. Десятичную дробь 9,2 представим в виде обыкновенной дроби: $9,2 = \frac{92}{10} = \frac{46}{5}$.
Теперь преобразуем степени с отрицательным показателем:
$9,2^{-1} = (\frac{46}{5})^{-1} = \frac{5}{46}$.
$7^{-1} = \frac{1}{7}$.
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.

2. Вычислим сумму в скобках. Общий знаменатель для 7 и 16 равен $7 \cdot 16 = 112$.
$\frac{1}{7} + \frac{1}{16} = \frac{16}{112} + \frac{7}{112} = \frac{23}{112}$.

3. Выполним умножение:
$\frac{5}{46} \cdot \frac{23}{112}$.

4. Сократим дробь, заметив, что $46 = 2 \cdot 23$:
$\frac{5}{2 \cdot 23} \cdot \frac{23}{112} = \frac{5 \cdot 23}{46 \cdot 112} = \frac{5}{2 \cdot 112} = \frac{5}{224}$.

Ответ: $\frac{5}{224}$

г) $(0,2^{-1} - 0,4^{-1}) : (3 \cdot 0,1^{-1} + 0,3^{-1})$

1. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и применим свойство отрицательной степени:
$0,2^{-1} = (\frac{2}{10})^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.
$0,4^{-1} = (\frac{4}{10})^{-1} = (\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2}$.
$0,1^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10$.
$0,3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$.

2. Подставим полученные значения в выражение:
$(5 - \frac{5}{2}) : (3 \cdot 10 + \frac{10}{3})$.

3. Вычислим значение в первой скобке (делимое):
$5 - \frac{5}{2} = \frac{10}{2} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.

4. Вычислим значение во второй скобке (делитель):
$3 \cdot 10 + \frac{10}{3} = 30 + \frac{10}{3} = \frac{90}{3} + \frac{10}{3} = \frac{100}{3}$.

5. Выполним деление:
$\frac{5}{2} : \frac{100}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{100}$.

6. Сократим дробь на 5:
$\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 100} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 20} = \frac{3}{40}$.

Ответ: $\frac{3}{40}$