Номер 2, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 2, страница 110.

Условие.

2. Представьте выражение в виде степени с основанием 5 и найдите его значение:

a) $125 \cdot 5^{-2} = $

б) $25^{-3} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-4} = $

в) $0.2^2 \cdot (5^{-4})^{-1} = $

г) $5^7 : (125^{-1})^{-3} = $

Решение.

Решение 2.

а) $125 \cdot 5^{-2} =$

Сначала представим число 125 как степень с основанием 5. Мы знаем, что $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Подставим это в исходное выражение:

$125 \cdot 5^{-2} = 5^3 \cdot 5^{-2}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^3 \cdot 5^{-2} = 5^{3 + (-2)} = 5^{3-2} = 5^1$

Теперь найдем значение полученного выражения:

$5^1 = 5$

Ответ: 5

б) $25^{-3} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-4} =$

Представим каждый множитель в виде степени с основанием 5.

Число 25 это $5^2$. Тогда $25^{-3} = (5^2)^{-3}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(5^2)^{-3} = 5^{2 \cdot (-3)} = 5^{-6}$

Дробь $\frac{1}{5}$ можно представить как $5^{-1}$ по свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Тогда $\left(\frac{1}{5}\right)^{-4} = (5^{-1})^{-4}$. Снова используем свойство возведения степени в степень:

$(5^{-1})^{-4} = 5^{(-1) \cdot (-4)} = 5^4$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$5^{-6} \cdot 5^4$

Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-6} \cdot 5^4 = 5^{-6+4} = 5^{-2}$

Найдем значение этого выражения:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$

в) $0,2^2 \cdot (5^{-4})^{-1} =$

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,2 в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Представим $\frac{1}{5}$ как степень с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Тогда первый множитель $0,2^2$ равен $(5^{-1})^2$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(5^{-1})^2 = 5^{-1 \cdot 2} = 5^{-2}$

Для второго множителя $(5^{-4})^{-1}$ также применим свойство возведения степени в степень:

$(5^{-4})^{-1} = 5^{-4 \cdot (-1)} = 5^4$

Теперь перемножим полученные степени:

$5^{-2} \cdot 5^4$

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-2} \cdot 5^4 = 5^{-2+4} = 5^2$

Найдем значение выражения:

$5^2 = 25$

Ответ: 25

г) $5^7 : (125^{-1})^{-3} =$

Разберем делитель $(125^{-1})^{-3}$.

Сначала представим 125 в виде степени с основанием 5: $125 = 5^3$.

Тогда $125^{-1} = (5^3)^{-1}$. Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^3)^{-1} = 5^{3 \cdot (-1)} = 5^{-3}$

Теперь возведем полученное выражение в степень -3:

$(5^{-3})^{-3} = 5^{(-3) \cdot (-3)} = 5^9$

Исходное выражение принимает вид:

$5^7 : 5^9$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$5^7 : 5^9 = 5^{7-9} = 5^{-2}$

Найдем значение выражения:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$