Номер 12, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 12, страница 108.

Условие.

12. Упростите выражение:

a) $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}} = $

б) $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{(ab)^{-1} (a - b)^2} = $

в) $\left(\frac{a}{b}\right)^{-2} - \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = $

г) $\frac{cd^{-1} - c^{-1}d}{c^{-2} - d^{-2}} = $

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное выражение: $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}}$

1. Избавимся от отрицательных степеней в числителе и знаменателе, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}$

2. Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю.

Числитель: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}$

Знаменатель: $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}}$

4. Разделим дроби, для этого первую дробь умножим на перевернутую вторую:

$\frac{y+x}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{y^2 - x^2}$

5. Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{y+x}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(y - x)(y + x)}$

6. Сократим общие множители $(y+x)$ в числителе и знаменателе, а также $xy$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{xy}{y - x} = \frac{xy}{y - x}$

Ответ: $\frac{xy}{y-x}$

б)

Исходное выражение: $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{(ab)^{-1}(a - b)^2}$

1. Преобразуем отрицательные степени:

$\frac{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{ab}(a - b)^2}$

2. Упростим числитель дроби, приведя его к общему знаменателю:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

3. Используя формулу разности квадратов, разложим числитель на множители:

$\frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}$

4. Упростим знаменатель исходной дроби:

$\frac{1}{ab}(a - b)^2 = \frac{(a - b)^2}{ab}$

5. Запишем все выражение в виде деления дробей:

$\frac{\frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}}{\frac{(a-b)^2}{ab}} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{(a-b)^2}$

6. Учтем, что $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Сократим общие множители $(b-a)$ и $ab$:

$\frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{(b-a)^2} = \frac{b+a}{ab(b-a)}$

Ответ: $\frac{a+b}{ab(b-a)}$

в)

Исходное выражение: $(\frac{a}{b})^{-2} - (\frac{a}{b})^{-1}$

1. Воспользуемся свойством степени $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:

$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a})^1 = \frac{b^2}{a^2} - \frac{b}{a}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2$:

$\frac{b^2}{a^2} - \frac{b \cdot a}{a \cdot a} = \frac{b^2 - ab}{a^2}$

3. Вынесем общий множитель $b$ в числителе за скобки:

$\frac{b(b-a)}{a^2}$

Ответ: $\frac{b(b-a)}{a^2}$

г)

Исходное выражение: $\frac{cd^{-1} - c^{-1}d}{c^{-2} - d^{-2}}$

1. Перепишем выражение, избавившись от отрицательных степеней:

$\frac{c \cdot \frac{1}{d} - \frac{1}{c} \cdot d}{\frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2}} = \frac{\frac{c}{d} - \frac{d}{c}}{\frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2}}$

2. Упростим числитель и знаменатель, приведя дроби в них к общему знаменателю.

Числитель: $\frac{c}{d} - \frac{d}{c} = \frac{c^2 - d^2}{cd}$

Знаменатель: $\frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2} = \frac{d^2 - c^2}{c^2d^2}$

3. Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$\frac{\frac{c^2 - d^2}{cd}}{\frac{d^2 - c^2}{c^2d^2}}$

4. Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{c^2 - d^2}{cd} \cdot \frac{c^2d^2}{d^2 - c^2}$

5. Заметим, что $d^2 - c^2 = -(c^2 - d^2)$. Подставим это в выражение и сократим общие множители:

$\frac{c^2 - d^2}{cd} \cdot \frac{c^2d^2}{-(c^2 - d^2)} = \frac{1}{cd} \cdot \frac{c^2d^2}{-1} = -\frac{c^2d^2}{cd}$

6. Сократим полученную дробь на $cd$:

$-cd$

Ответ: $-cd$