Номер 6, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 6, страница 106.

Условие.

6. Поставьте знак >, < или = так, чтобы получилось верное неравенство или равенство:

а) $8^{-5} \Box 8^{-3}$; б) $(\frac{1}{3})^{-5} \Box (\frac{1}{3})^{5}$; в) $0,1^{-4} \Box 0,1^{4}$;

г) $5^{-2} \Box 0,2^2$; д) $(-3)^{-1} \Box 3^{-1}$; е) $(-0,1)^{-6} \Box (-0,1)^{-3}$.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сравнить $8^{-5}$ и $8^{-3}$, воспользуемся свойством степеней. Для основания $a > 1$ (в нашем случае $a=8$) степенная функция является возрастающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует большее значение. Сравним показатели: $-5 < -3$. Следовательно, $8^{-5} < 8^{-3}$.
Можно также вычислить значения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$8^{-5} = \frac{1}{8^5} = \frac{1}{32768}$
$8^{-3} = \frac{1}{8^3} = \frac{1}{512}$
Поскольку знаменатель первой дроби больше знаменателя второй, сама первая дробь меньше второй: $\frac{1}{32768} < \frac{1}{512}$.
Ответ: $8^{-5} < 8^{-3}$.

б) Сравним $(\frac{1}{3})^{-5}$ и $(\frac{1}{3})^{5}$. Преобразуем левую часть, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{3})^{-5} = (\frac{3}{1})^5 = 3^5 = 243$.
Теперь вычислим правую часть:
$(\frac{1}{3})^{5} = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $243 > \frac{1}{243}$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{-5} > (\frac{1}{3})^{5}$.

в) Сравним $0,1^{-4}$ и $0,1^{4}$. Основание степени $a = 0,1$, и $0 < 0,1 < 1$. Для такого основания степенная функция является убывающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует меньшее значение. Сравним показатели: $-4 < 4$. Следовательно, $0,1^{-4} > 0,1^{4}$.
Проверим вычислением:
$0,1^{-4} = (\frac{1}{10})^{-4} = 10^4 = 10000$.
$0,1^{4} = (\frac{1}{10})^{4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$.
Очевидно, что $10000 > 0,0001$.
Ответ: $0,1^{-4} > 0,1^{4}$.

г) Сравним $5^{-2}$ и $0,2^{2}$. Преобразуем оба выражения.
Левая часть: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Правая часть: представим $0,2$ как обыкновенную дробь $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Тогда:
$0,2^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Поскольку оба выражения равны $\frac{1}{25}$, они равны между собой.
Ответ: $5^{-2} = 0,2^{2}$.

д) Сравним $(-3)^{-1}$ и $3^{-1}$. Вычислим значения обоих выражений:
$(-3)^{-1} = \frac{1}{(-3)^1} = -\frac{1}{3}$.
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-\frac{1}{3} < \frac{1}{3}$.
Ответ: $(-3)^{-1} < 3^{-1}$.

е) Сравним $(-0,1)^{-6}$ и $(-0,1)^{-3}$. Определим знаки выражений.
В выражении $(-0,1)^{-6}$ показатель степени $-6$ является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
$(-0,1)^{-6} = \frac{1}{(-0,1)^6} = \frac{1}{(0,1)^6} > 0$.
В выражении $(-0,1)^{-3}$ показатель степени $-3$ является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$(-0,1)^{-3} = \frac{1}{(-0,1)^3} = \frac{1}{-(0,1)^3} < 0$.
Любое положительное число больше любого отрицательного.
Ответ: $(-0,1)^{-6} > (-0,1)^{-3}$.