Номер 5, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 5, страница 111.

Условие.

5. Найдите значение выражения:

а) $0,3c^{-3}d^5 \cdot 15c^5d^{-4}$ при $c = -0,2, d = 10;$

б) $\frac{4}{7}a^{-7}b^2:(8a^{-9}b^4)$ при $a = 0,6, b=\frac{1}{7};$

в) $5(x^{-3})^{-1} \cdot (y^2)^{-2} \cdot 0,1xy^{-1}$ при $x=1\frac{1}{2}, y=0,5;$

г) $0,2m^{-3}n^2 \cdot 8(m^{-2})^{-2}:(\frac{1}{20}n^{-4})$ при $m = 150, n = -0,5.$

Решение.

Решение 2.

а) Сначала упростим выражение. Для этого сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$0,3c^{-3}d^5 \cdot 15c^5d^{-4} = (0,3 \cdot 15) \cdot (c^{-3} \cdot c^5) \cdot (d^5 \cdot d^{-4}) = 4,5 \cdot c^{-3+5} \cdot d^{5+(-4)} = 4,5c^2d$.
Теперь подставим заданные значения $c = -0,2$ и $d = 10$ в полученное выражение:
$4,5c^2d = 4,5 \cdot (-0,2)^2 \cdot 10 = 4,5 \cdot 0,04 \cdot 10 = 4,5 \cdot 0,4 = 1,8$.
Ответ: 1,8

б) Сначала упростим выражение. Деление можно представить в виде дроби. Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{4}{7}a^{-7}b^2 : (8a^{-9}b^4) = \frac{\frac{4}{7}a^{-7}b^2}{8a^{-9}b^4} = \frac{4}{7 \cdot 8} \cdot a^{-7 - (-9)} \cdot b^{2-4} = \frac{4}{56} \cdot a^{-7+9} \cdot b^{-2} = \frac{1}{14}a^2b^{-2}$.
Выражение можно записать как $\frac{a^2}{14b^2}$.
Подставим значения $a = 0,6$ и $b = \frac{1}{7}$:
$\frac{(0,6)^2}{14 \cdot (\frac{1}{7})^2} = \frac{0,36}{14 \cdot \frac{1}{49}} = \frac{0,36}{\frac{14}{49}} = \frac{0,36}{\frac{2}{7}} = 0,36 \cdot \frac{7}{2} = 0,18 \cdot 7 = 1,26$.
Ответ: 1,26

в) Сначала упростим выражение, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5(x^{-3})^{-1} \cdot (y^2)^{-2} \cdot 0,1xy^{-1} = 5 \cdot x^{(-3) \cdot (-1)} \cdot y^{2 \cdot (-2)} \cdot 0,1 \cdot x^1 \cdot y^{-1} = 5x^3y^{-4} \cdot 0,1xy^{-1}$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные:
$(5 \cdot 0,1) \cdot (x^3 \cdot x) \cdot (y^{-4} \cdot y^{-1}) = 0,5 \cdot x^{3+1} \cdot y^{-4+(-1)} = 0,5x^4y^{-5}$.
Подставим значения $x = 1\frac{1}{2} = 1,5$ и $y = 0,5$ в упрощенное выражение:
$0,5 \cdot (1,5)^4 \cdot (0,5)^{-5} = (0,5)^1 \cdot (1,5)^4 \cdot (0,5)^{-5} = (1,5)^4 \cdot (0,5)^{1-5} = (1,5)^4 \cdot (0,5)^{-4} = (\frac{1,5}{0,5})^4 = 3^4 = 81$.
Ответ: 81

г) Упростим выражение по частям, соблюдая порядок действий. Сначала возведение в степень, затем умножение и деление слева направо.
1. Упростим $(m^{-2})^{-2} = m^{(-2) \cdot (-2)} = m^4$.
2. Выполним умножение: $0,2m^{-3}n^2 \cdot 8m^4 = (0,2 \cdot 8) \cdot (m^{-3} \cdot m^4) \cdot n^2 = 1,6 \cdot m^{-3+4} \cdot n^2 = 1,6mn^2$.
3. Выполним деление: $(1,6mn^2) : (\frac{1}{20}n^{-4}) = \frac{1,6mn^2}{\frac{1}{20}n^{-4}} = \frac{1,6}{1/20} \cdot m \cdot \frac{n^2}{n^{-4}} = (1,6 \cdot 20) \cdot m \cdot n^{2-(-4)} = 32mn^6$.
Подставим значения $m = 150$ и $n = -0,5$ в упрощенное выражение:
$32 \cdot 150 \cdot (-0,5)^6 = 32 \cdot 150 \cdot (-\frac{1}{2})^6 = 32 \cdot 150 \cdot \frac{1}{64} = \frac{32 \cdot 150}{64} = \frac{1 \cdot 150}{2} = 75$.
Ответ: 75