Номер 10, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 10, страница 114.

Условие.

10. Найдите значение выражения

$\frac{(3a+b)^{-2}-(3a-b)^{-2}}{(3a-b)^{-2}+(3a+b)^{-2}}$ при $\frac{a}{b}=0,5$.

Решение.

Решение 2.

Преобразуем исходное выражение. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $(3a+b)^{-2}$: $$ \frac{(3a + b)^{-2} - (3a - b)^{-2}}{(3a - b)^{-2} + (3a + b)^{-2}} = \frac{1 - \frac{(3a - b)^{-2}}{(3a + b)^{-2}}}{\frac{(3a - b)^{-2}}{(3a + b)^{-2}} + 1} $$

Используя свойство степеней $\frac{x^{-n}}{y^{-n}} = \left(\frac{x}{y}\right)^{-n} = \left(\frac{y}{x}\right)^{n}$, получаем: $$ \frac{1 - \left(\frac{3a+b}{3a-b}\right)^2}{\left(\frac{3a+b}{3a-b}\right)^2 + 1} $$

Найдем значение выражения $k = \frac{3a+b}{3a-b}$, используя условие $\frac{a}{b} = 0,5$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби $k$ на $b$ (можно считать, что $b \neq 0$, иначе условие $\frac{a}{b}=0,5$ не имело бы смысла). $$ k = \frac{\frac{3a+b}{b}}{\frac{3a-b}{b}} = \frac{3\frac{a}{b} + 1}{3\frac{a}{b} - 1} $$

Подставим известное значение $\frac{a}{b} = 0,5$ в выражение для $k$: $$ k = \frac{3(0,5) + 1}{3(0,5) - 1} = \frac{1,5 + 1}{1,5 - 1} = \frac{2,5}{0,5} = 5 $$

Теперь подставим найденное значение $k=5$ в преобразованное выражение для всей дроби: $$ \frac{1 - k^2}{k^2 + 1} = \frac{1 - 5^2}{5^2 + 1} = \frac{1 - 25}{25 + 1} = \frac{-24}{26} $$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $$ \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13} $$

Ответ: $-\frac{12}{13}$