Номер 9, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 9, страница 113.

Условие.

9. Упростите выражение:

$\left( \frac{x^{-3} - 8y^{-3}}{x^{-1} - 2y^{-1}} + 2x^{-1}y^{-1} \right) : \left(x^{-1} + 2y^{-1}\right) =$

Решение.

Решение 2.

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по шагам, начиная с выражения в скобках.

1. Упрощение дроби.

Рассмотрим дробь $\frac{x^{-3} - 8y^{-3}}{x^{-1} - 2y^{-1}}$. Числитель дроби $x^{-3} - 8y^{-3}$ можно представить как разность кубов, так как $x^{-3} = (x^{-1})^3$ и $8y^{-3} = (2y^{-1})^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^{-3} - 8y^{-3} = (x^{-1})^3 - (2y^{-1})^3 = (x^{-1} - 2y^{-1})((x^{-1})^2 + x^{-1}(2y^{-1}) + (2y^{-1})^2) = (x^{-1} - 2y^{-1})(x^{-2} + 2x^{-1}y^{-1} + 4y^{-2})$.

Теперь подставим разложенный числитель в дробь и сократим ее:

$\frac{(x^{-1} - 2y^{-1})(x^{-2} + 2x^{-1}y^{-1} + 4y^{-2})}{x^{-1} - 2y^{-1}} = x^{-2} + 2x^{-1}y^{-1} + 4y^{-2}$.

2. Сложение в скобках.

Теперь сложим полученный результат со вторым слагаемым в скобках:

$(x^{-2} + 2x^{-1}y^{-1} + 4y^{-2}) + 2x^{-1}y^{-1} = x^{-2} + 4x^{-1}y^{-1} + 4y^{-2}$.

3. Сворачивание в полный квадрат.

Полученное выражение $x^{-2} + 4x^{-1}y^{-1} + 4y^{-2}$ является полным квадратом суммы. Это можно увидеть, представив его в виде $(x^{-1})^2 + 2 \cdot (x^{-1}) \cdot (2y^{-1}) + (2y^{-1})^2$. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$x^{-2} + 4x^{-1}y^{-1} + 4y^{-2} = (x^{-1} + 2y^{-1})^2$.

4. Финальное деление.

Теперь все исходное выражение можно записать так:

$(x^{-1} + 2y^{-1})^2 : (x^{-1} + 2y^{-1})$.

Выполним деление:

$\frac{(x^{-1} + 2y^{-1})^2}{x^{-1} + 2y^{-1}} = x^{-1} + 2y^{-1}$.

Ответ: $x^{-1} + 2y^{-1}$.