Номер 9, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

40. Свойства линейной функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 9, страница 100.

Условие.

9. Постройте график функции

$y = \begin{cases} x + 6, & \text{если } -10 \le x \le -2, \\ -\frac{x}{2}, & \text{если } -2 < x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x \le 3, \\ -2x + 15, & \text{если } 3 < x \le 9. \end{cases}$

$y = x + 6$

$y = -2x + 15$

$y = -\frac{x}{2}$

x
y

x
y

x
y

Закончите запись:

$D(y) = \text{...................}$

$E(y) = \text{...................}$

$y = 0 \text{ при } x = \text{...................}$

$y < 0 \text{ при } \text{...................}$

$y > 0 \text{ при } \text{...................}$

функция возрастает при ...................

функция убывает при ...................

Решение.

Решение 2.

Для построения графика функции, заданной кусочно, необходимо построить график каждой из четырех функций на соответствующем ей интервале.

1. Построение графика $y = x + 6$ на промежутке $x \in [-10, -2]$

Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Для построения найдем координаты конечных точек отрезка.

• При $x = -10$: $y = -10 + 6 = -4$. Координаты точки: $(-10, -4)$.
• При $x = -2$: $y = -2 + 6 = 4$. Координаты точки: $(-2, 4)$.

Обе точки, $(-10, -4)$ и $(-2, 4)$, принадлежат графику, так как неравенства строгие. На графике их следует отметить закрашенными (сплошными) кружками.

2. Построение графика $y = -\frac{x}{2}$ на промежутке $x \in (-2, 0]$

Это также линейная функция, и ее график — отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек.

• При $x = -2$: $y = -\frac{-2}{2} = 1$. Координаты точки: $(-2, 1)$. Эта точка не принадлежит графику, так как неравенство $x > -2$ строгое. На графике ее следует отметить выколотым (пустым) кружком.
• При $x = 0$: $y = -\frac{0}{2} = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$. Эта точка принадлежит графику. На графике ее следует отметить закрашенным кружком.

3. Построение графика $y = x^2$ на промежутке $x \in (0, 3]$

Это квадратичная функция, ее график — часть параболы с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх.

• При $x \to 0$ (справа), $y \to 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этому участку графика (неравенство строгое), но она принадлежит предыдущему участку, поэтому функция в этой точке непрерывна.
• При $x = 3$: $y = 3^2 = 9$. Координаты точки: $(3, 9)$. Эта точка принадлежит графику (закрашенный кружок).
• Для более точного построения найдем еще несколько точек: при $x=1, y=1$; при $x=2, y=4$.

4. Построение графика $y = -2x + 15$ на промежутке $x \in (3, 9]$

Это линейная функция, ее график — отрезок прямой.

• При $x \to 3$ (справа), $y \to -2(3) + 15 = -6 + 15 = 9$. Точка $(3, 9)$ не принадлежит этому участку (неравенство строгое), но она принадлежит предыдущему, так что функция непрерывна в $x=3$.
• При $x = 9$: $y = -2(9) + 15 = -18 + 15 = -3$. Координаты точки: $(9, -3)$. Эта точка принадлежит графику (закрашенный кружок).

Объединив все четыре участка на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график функции. График имеет разрыв в точке $x = -2$.

Заполнение таблиц:

Для $y=x+6$:

x	-10	-2
y	-4	4

Для $y=-2x+15$ (точки из интервала $(3, 9]$):

x	4	6	9
y	7	3	-3

Для $y = -\frac{x}{2}$ (точки из интервала $(-2, 0]$):

x	-1.5	-1	0
y	0.75	0.5	0

Анализ свойств функции:

D(y)=

Область определения функции $D(y)$ — это объединение всех промежутков, на которых задана функция: $D(y) = [-10, -2] \cup (-2, 0] \cup (0, 3] \cup (3, 9]$. В результате объединения получаем один сплошной промежуток.

Ответ: $D(y) = [-10, 9]$.

E(y)=

Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает функция. Проанализируем значения на каждом участке:

• На $[-10, -2]$ значения $y$ изменяются от $-4$ до $4$, т.е. $y \in [-4, 4]$.
• На $(-2, 0]$ значения $y$ изменяются от $1$ (не включая) до $0$, т.е. $y \in [0, 1)$.
• На $(0, 3]$ значения $y$ изменяются от $0$ (не включая) до $9$, т.е. $y \in (0, 9]$.
• На $(3, 9]$ значения $y$ изменяются от $9$ (не включая) до $-3$, т.е. $y \in [-3, 9)$.

Объединяя все эти множества значений: $E(y) = [-4, 4] \cup [0, 1) \cup (0, 9] \cup [-3, 9) = [-4, 9]$.

Ответ: $E(y) = [-4, 9]$.

y = 0 при x =

Найдем нули функции, решив уравнение $y(x)=0$ на каждом участке:

• $x + 6 = 0 \implies x = -6$. Этот корень принадлежит промежутку $[-10, -2]$.
• $-\frac{x}{2} = 0 \implies x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку $(-2, 0]$.
• $x^2 = 0 \implies x = 0$. Этот корень не принадлежит промежутку $(0, 3]$.
• $-2x + 15 = 0 \implies 2x = 15 \implies x = 7.5$. Этот корень принадлежит промежутку $(3, 9]$.

Ответ: $y=0$ при $x = -6; 0; 7.5$.

y < 0 при

Найдем промежутки, где график функции лежит ниже оси Ox:

• $x + 6 < 0 \implies x < -6$. На промежутке $[-10, -2]$ это дает $x \in [-10, -6)$.
• $-2x + 15 < 0 \implies 15 < 2x \implies x > 7.5$. На промежутке $(3, 9]$ это дает $x \in (7.5, 9]$.

На других участках функция неотрицательна.

Ответ: $y<0$ при $x \in [-10, -6) \cup (7.5, 9]$.

y > 0 при

Найдем промежутки, где график функции лежит выше оси Ox:

• $x + 6 > 0 \implies x > -6$. На промежутке $[-10, -2]$ это дает $x \in (-6, -2]$.
• $-\frac{x}{2} > 0 \implies x < 0$. На промежутке $(-2, 0]$ это дает $x \in (-2, 0)$.
• $x^2 > 0$ при всех $x \ne 0$. На промежутке $(0, 3]$ это весь промежуток $x \in (0, 3]$.
• $-2x + 15 > 0 \implies 15 > 2x \implies x < 7.5$. На промежутке $(3, 9]$ это дает $x \in (3, 7.5)$.

Объединяя эти промежутки: $(-6, -2] \cup (-2, 0) \cup (0, 3] \cup (3, 7.5)$, получаем $(-6, 0) \cup (0, 7.5)$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-6, 0) \cup (0, 7.5)$.

функция возрастает при

Функция возрастает, если с увеличением $x$ значение $y$ увеличивается.

• На $[-10, -2]$ функция $y = x+6$ возрастает (коэффициент при $x$ равен $1 > 0$).
• На $(0, 3]$ функция $y = x^2$ возрастает (это правая ветвь параболы).

Ответ: функция возрастает при $x \in [-10, -2] \cup [0, 3]$.

функция убывает при

Функция убывает, если с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается.

• На $(-2, 0]$ функция $y = -\frac{x}{2}$ убывает (коэффициент при $x$ равен $-\frac{1}{2} < 0$).
• На $(3, 9]$ функция $y = -2x+15$ убывает (коэффициент при $x$ равен $-2 < 0$).

Ответ: функция убывает при $x \in (-2, 0] \cup (3, 9]$.