Номер 122, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 122, страница 23.

Условие.

122. Решите уравнение:

1) $(x-1)(x-2)+(x+4)(x-4)+3x = 0;$

2) $(2x-7)^2-7(7-2x) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x-1)(x-2) + (x+4)(x-4) + 3x = 0$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки. Выражение $(x-1)(x-2)$ является произведением двух многочленов:

$(x-1)(x-2) = x \cdot x - x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

Выражение $(x+4)(x-4)$ является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(x^2 - 3x + 2) + (x^2 - 16) + 3x = 0$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2) + (-3x + 3x) + (2 - 16) = 0$

$2x^2 + 0x - 14 = 0$

$2x^2 - 14 = 0$.

Мы получили неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x^2 = 14$.

Разделим обе части на 2:

$x^2 = \frac{14}{2}$

$x^2 = 7$.

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{7}$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

2) $(2x-7)^2 - 7(7-2x) = 0$

В этом уравнении можно заметить, что выражение во вторых скобках $(7-2x)$ связано с выражением в первых скобках $(2x-7)$. Вынесем минус за скобки во втором слагаемом:

$7-2x = -( -7 + 2x) = -(2x-7)$.

Подставим это преобразованное выражение в исходное уравнение:

$(2x-7)^2 - 7(-(2x-7)) = 0$.

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$(2x-7)^2 + 7(2x-7) = 0$.

Теперь у нас есть общий множитель $(2x-7)$, который можно вынести за скобку:

$(2x-7) \cdot ((2x-7) + 7) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(2x-7) \cdot (2x - 7 + 7) = 0$

$(2x-7) \cdot (2x) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: $2x - 7 = 0$

$2x = 7$

$x_1 = \frac{7}{2} = 3,5$.

Второй множитель: $2x = 0$

$x_2 = 0$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 3,5.