Номер 128, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 128, страница 23.

Условие.

128. Решите уравнение:

1) $3x^2 - 5x\sqrt{3} + 6 = 0$;

2) $x^2 + x(1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $3x^2 - 5x\sqrt{3} + 6 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты равны:

$a = 3$, $b = -5\sqrt{3}$, $c = 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 \cdot 3 - 72 = 75 - 72 = 3$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5\sqrt{3}) + \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3} + \sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$.

$x_2 = \frac{-(-5\sqrt{3}) - \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3} - \sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}; \sqrt{3}$.

2) $x^2 + x(1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Его коэффициенты:

$a = 1$, $b = 1 - \sqrt{5}$, $c = -\sqrt{5}$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (1 - \sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{5}) = (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) + 4\sqrt{5} = (1 - 2\sqrt{5} + 5) + 4\sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5}$.

Для вычисления корней необходимо найти $\sqrt{D} = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:

$6 + 2\sqrt{5} = 1 + 5 + 2\sqrt{5} = 1^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = (1 + \sqrt{5})^2$.

Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{(1+\sqrt{5})^2} = 1 + \sqrt{5}$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(1 - \sqrt{5}) + (1 + \sqrt{5})}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{5} + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

$x_2 = \frac{-(1 - \sqrt{5}) - (1 + \sqrt{5})}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: $-1; \sqrt{5}$.