Номер 124, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 124, страница 23.

Условие.

124. Решите уравнение:

1) $x^2 - 8|x| = 0;$

2) $x^2 - 4|x| + 5x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

В уравнении $x^2 - 8|x| = 0$ воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$|x|^2 - 8|x| = 0$

Сделаем замену переменной $t = |x|$. Учитывая, что модуль числа всегда неотрицателен, имеем $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 8t = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общиий множитель $t$ за скобки:

$t(t - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда следует, что $t = 0$ или $t - 8 = 0$.

$t_1 = 0$

$t_2 = 8$

Оба полученных значения для $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $t_1 = 0$, получаем $|x| = 0$, откуда $x = 0$.

2. При $t_2 = 8$, получаем $|x| = 8$, откуда $x = 8$ или $x = -8$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-8; 0; 8$.

2)

Для решения уравнения $x^2 - 4|x| + 5x = 0$ необходимо раскрыть модуль. Для этого рассмотрим два случая в зависимости от знака переменной $x$.

Случай 1: $x \ge 0$

При этом условии $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - 4x + 5x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни условию $x \ge 0$:

• Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 \ge 0$.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$.

Следовательно, из первого случая получаем один корень: $x = 0$.

Случай 2: $x < 0$

При этом условии $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - 4(-x) + 5x = 0$

$x^2 + 4x + 5x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 9x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 9) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -9$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни условию $x < 0$:

• Корень $x_3 = 0$ не удовлетворяет условию, так как $0$ не меньше $0$.
• Корень $x_4 = -9$ удовлетворяет условию, так как $-9 < 0$.

Следовательно, из второго случая получаем еще один корень: $x = -9$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все корни исходного уравнения.

Ответ: $-9; 0$.