Номер 121, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Решите уравнение:

1) $5x^2 - 20 = 0;$

2) $x^2 + 12x = 0;$

3) $6x^2 - 18 = 0;$

4) $3x^2 - 24x = 0;$

5) $49x^2 - 9 = 0;$

6) $x^2 + 25 = 0.$

1) $5x^2 - 20 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член (-20) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x^2 = 20$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 5:

$x^2 = \frac{20}{5}$

$x^2 = 4$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение будет иметь два корня:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

2) $x^2 + 12x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 12) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю и решаем полученные уравнения:

$x = 0$ или $x + 12 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x = -12$

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -12$.

3) $6x^2 - 18 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (-18) в правую часть:

$6x^2 = 18$

Разделим обе части на 6:

$x^2 = \frac{18}{6}$

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{3}$

Уравнение имеет два иррациональных корня.

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

4) $3x^2 - 24x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 8) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$3x = 0$ или $x - 8 = 0$

Решаем каждое из полученных простых уравнений:

$x = 0$

$x = 8$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 8$.

5) $49x^2 - 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить двумя способами.
Способ 1: Перенесем свободный член в правую часть:

$49x^2 = 9$

Разделим обе части на 49:

$x^2 = \frac{9}{49}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{49}}$

$x = \pm\frac{3}{7}$

Способ 2: Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(7x)^2 - 3^2 = 0$

$(7x - 3)(7x + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$7x - 3 = 0 \implies 7x = 3 \implies x = \frac{3}{7}$

$7x + 3 = 0 \implies 7x = -3 \implies x = -\frac{3}{7}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $x_1 = \frac{3}{7}, x_2 = -\frac{3}{7}$.

6) $x^2 + 25 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -25$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число (-25). Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, квадрат которого был бы равен -25.

Ответ: нет действительных корней.