Номер 115, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 115, страница 22.

Условие.

115. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 2$ и определите координаты точки их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение в одной системе координат графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 2$

1. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы. Область определения данной функции — $x \ge 0$. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему.
- если $x = 0$, то $y = \sqrt{0} = 0$; точка $(0, 0)$.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} = 1$; точка $(1, 1)$.
- если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} = 2$; точка $(4, 2)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

2. График функции $y = x - 2$ является прямой. Для построения прямой достаточно определить координаты двух любых ее точек.
- если $x = 0$, то $y = 0 - 2 = -2$; точка $(0, -2)$.
- если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$; точка $(2, 0)$.
Проведем прямую через эти две точки.

Определение координат точки их пересечения

Координаты точки пересечения графиков являются решением системы уравнений: $ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x - 2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:
$\sqrt{x} = x - 2$

Поскольку левая часть уравнения ($\sqrt{x}$) по определению неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение на $x$:
$x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат для устранения иррациональности:
$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$
$x = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные:
$x^2 - 5x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ограничению $x \ge 2$.
- $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, значит, это посторонний корень.
- $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 2$. Это абсцисса точки пересечения.

Для нахождения ординаты ($y$) подставим значение $x = 4$ в любое из уравнений системы. Например, в $y = x - 2$:
$y = 4 - 2 = 2$.

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(4, 2)$.

Ответ: $(4, 2)$.