Номер 117, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 117, страница 22.

Условие.

117. Упростите выражение:

1) $\sqrt{27+10\sqrt{2}};$

2) $\sqrt{14-2\sqrt{13}};$

3) $\sqrt{25+4\sqrt{21}}+\sqrt{70-14\sqrt{21}};$

4) $\sqrt{24-6\sqrt{15}}-\sqrt{115-20\sqrt{15}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для упрощения выражений такого вида используется формула квадрата суммы или разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Цель состоит в том, чтобы представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, а затем извлечь из него корень, используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$.

1) Рассмотрим выражение $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$.
Представим его в виде $\sqrt{a^2 + 2ab + b^2}$.
Член $10\sqrt{2}$ должен соответствовать $2ab$. Запишем: $10\sqrt{2} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2}$.
Отсюда можно предположить, что $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим, выполняется ли равенство $a^2+b^2=27$:
$a^2+b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$.
Равенство выполняется, значит, подкоренное выражение является полным квадратом:
$27 + 10\sqrt{2} = (5 + \sqrt{2})^2$.
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}| = 5 + \sqrt{2}$.
Ответ: $5 + \sqrt{2}$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{14 - 2\sqrt{13}}$.
Представим его в виде $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}$.
Член $2\sqrt{13}$ должен соответствовать $2ab$. Запишем: $2\sqrt{13} = 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 1$.
Отсюда можно предположить, что $a=\sqrt{13}$ и $b=1$.
Проверим, выполняется ли равенство $a^2+b^2=14$:
$a^2+b^2 = (\sqrt{13})^2 + 1^2 = 13 + 1 = 14$.
Равенство выполняется. Значит, подкоренное выражение является полным квадратом:
$14 - 2\sqrt{13} = (\sqrt{13} - 1)^2$.
Извлечем корень:
$\sqrt{14 - 2\sqrt{13}} = \sqrt{(\sqrt{13} - 1)^2} = |\sqrt{13} - 1|$.
Поскольку $\sqrt{13} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{13} > 1$, разность $\sqrt{13} - 1$ положительна. Следовательно, $|\sqrt{13} - 1| = \sqrt{13} - 1$.
Ответ: $\sqrt{13} - 1$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{25 + 4\sqrt{21}} + \sqrt{70 - 14\sqrt{21}}$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt{25 + 4\sqrt{21}}$.
Представим $4\sqrt{21}$ в виде $2ab$: $4\sqrt{21} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{21}$. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{21}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{21})^2 = 4 + 21 = 25$. Это совпадает со свободным членом.
Значит, $\sqrt{25 + 4\sqrt{21}} = \sqrt{(2 + \sqrt{21})^2} = |2+\sqrt{21}| = 2+\sqrt{21}$.
Второе слагаемое: $\sqrt{70 - 14\sqrt{21}}$.
Представим $14\sqrt{21}$ в виде $2ab$: $14\sqrt{21} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{21}$. Пусть $a=7$ и $b=\sqrt{21}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = 7^2 + (\sqrt{21})^2 = 49 + 21 = 70$. Совпадает.
Значит, $\sqrt{70 - 14\sqrt{21}} = \sqrt{(7 - \sqrt{21})^2} = |7 - \sqrt{21}|$.
Так как $4^2=16$ и $5^2=25$, то $4 < \sqrt{21} < 5$. Следовательно, $7 - \sqrt{21}$ — положительное число, и модуль можно опустить. Получаем $7 - \sqrt{21}$.
Сложим результаты:
$(2 + \sqrt{21}) + (7 - \sqrt{21}) = 2 + 7 + \sqrt{21} - \sqrt{21} = 9$.
Ответ: $9$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{24 - 6\sqrt{15}} - \sqrt{115 - 20\sqrt{15}}$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первый член (уменьшаемое): $\sqrt{24 - 6\sqrt{15}}$.
Представим $6\sqrt{15}$ в виде $2ab$: $6\sqrt{15} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{15}$. Пусть $a=\sqrt{15}$ и $b=3$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (\sqrt{15})^2 + 3^2 = 15 + 9 = 24$. Совпадает.
Чтобы избежать отрицательного значения под модулем, выберем $a > b$. Так как $3^2=9$, а $(\sqrt{15})^2=15$, то $\sqrt{15} > 3$.
Значит, $24 - 6\sqrt{15} = (\sqrt{15} - 3)^2$.
$\sqrt{24 - 6\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{15} - 3)^2} = |\sqrt{15} - 3| = \sqrt{15} - 3$.
Второй член (вычитаемое): $\sqrt{115 - 20\sqrt{15}}$.
Представим $20\sqrt{15}$ в виде $2ab$: $20\sqrt{15} = 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{15}$. Пусть $a=10$ и $b=\sqrt{15}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = 10^2 + (\sqrt{15})^2 = 100 + 15 = 115$. Совпадает.
Так как $10 > \sqrt{15}$ (поскольку $100 > 15$), разность $10 - \sqrt{15}$ положительна.
Значит, $\sqrt{115 - 20\sqrt{15}} = \sqrt{(10 - \sqrt{15})^2} = |10 - \sqrt{15}| = 10 - \sqrt{15}$.
Выполним вычитание:
$(\sqrt{15} - 3) - (10 - \sqrt{15}) = \sqrt{15} - 3 - 10 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15} - 13$.
Ответ: $2\sqrt{15} - 13$.