Номер 118, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 118, страница 22.

Условие.

118. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{a}+2)^2 - 8\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-1)^2 + 4\sqrt{a}}$

2) $\sqrt{a+2\sqrt{a+1}+2} + \sqrt{a-2\sqrt{a+1}+2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано выражение: $\sqrt{(\sqrt{a}+2)^2 - 8\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-1)^2 + 4\sqrt{a}}$.

Сначала определим область допустимых значений. Наличие $\sqrt{a}$ требует, чтобы $a \ge 0$.

Теперь упростим каждое из подкоренных выражений.

Для первого слагаемого: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые под корнем.

$(\sqrt{a}+2)^2 - 8\sqrt{a} = ((\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2) - 8\sqrt{a} = (a + 4\sqrt{a} + 4) - 8\sqrt{a} = a - 4\sqrt{a} + 4$.

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом разности: $a - 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{a}-2)^2$.

Для второго слагаемого: выполним аналогичные действия.

$(\sqrt{a}-1)^2 + 4\sqrt{a} = ((\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) + 4\sqrt{a} = (a - 2\sqrt{a} + 1) + 4\sqrt{a} = a + 2\sqrt{a} + 1$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}+1)^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$\sqrt{(\sqrt{a}-2)^2} + \sqrt{(\sqrt{a}+1)^2}$.

Воспользуемся свойством $\sqrt{x^2} = |x|$:

$|\sqrt{a}-2| + |\sqrt{a}+1|$.

Раскроем модули. Так как по ОДЗ $a \ge 0$, то $\sqrt{a} \ge 0$, следовательно $\sqrt{a}+1$ всегда больше нуля. Поэтому $|\sqrt{a}+1| = \sqrt{a}+1$.

Выражение принимает вид: $|\sqrt{a}-2| + \sqrt{a}+1$.

Для раскрытия оставшегося модуля $|\sqrt{a}-2|$ необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения $a$.

Случай 1: $0 \le a < 4$. В этом случае $0 \le \sqrt{a} < 2$, поэтому выражение $\sqrt{a}-2$ отрицательно. Значит, $|\sqrt{a}-2| = -(\sqrt{a}-2) = 2-\sqrt{a}$.

Тогда все выражение равно: $(2-\sqrt{a}) + (\sqrt{a}+1) = 2 - \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1 = 3$.

Случай 2: $a \ge 4$. В этом случае $\sqrt{a} \ge 2$, поэтому выражение $\sqrt{a}-2$ неотрицательно. Значит, $|\sqrt{a}-2| = \sqrt{a}-2$.

Тогда все выражение равно: $(\sqrt{a}-2) + (\sqrt{a}+1) = \sqrt{a} - 2 + \sqrt{a} + 1 = 2\sqrt{a}-1$.

Ответ: Выражение равно 3 при $0 \le a < 4$, и равно $2\sqrt{a}-1$ при $a \ge 4$. Это можно записать в виде системы: $\begin{cases} 3, & \text{если } 0 \le a < 4 \\ 2\sqrt{a}-1, & \text{если } a \ge 4 \end{cases}$

2)

Дано выражение: $\sqrt{a+2\sqrt{a}+1} + 2 + \sqrt{a-2\sqrt{a}+1} + 2$.

Сгруппируем слагаемые для удобства: $(\sqrt{a+2\sqrt{a}+1} + \sqrt{a-2\sqrt{a}+1}) + 4$.

Область допустимых значений: $a \ge 0$.

Упростим выражения под знаками корней, которые являются формулами сокращенного умножения.

Выражение под первым корнем: $a+2\sqrt{a}+1 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}+1)^2$.

Выражение под вторым корнем: $a-2\sqrt{a}+1 = (\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}-1)^2$.

Подставим эти полные квадраты в выражение:

$\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a}-1)^2} + 4$.

Используем тождество $\sqrt{x^2}=|x|$:

$|\sqrt{a}+1| + |\sqrt{a}-1| + 4$.

Раскроем модули. Поскольку $a \ge 0$, то $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{a}+1 > 0$. Отсюда $|\sqrt{a}+1| = \sqrt{a}+1$.

Выражение принимает вид: $(\sqrt{a}+1) + |\sqrt{a}-1| + 4$.

Для раскрытия модуля $|\sqrt{a}-1|$ рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 \le a < 1$. В этом случае $0 \le \sqrt{a} < 1$, и $\sqrt{a}-1$ отрицательно. Тогда $|\sqrt{a}-1| = -(\sqrt{a}-1) = 1-\sqrt{a}$.

Выражение становится равным: $(\sqrt{a}+1) + (1-\sqrt{a}) + 4 = \sqrt{a}+1+1-\sqrt{a}+4 = 6$.

Случай 2: $a \ge 1$. В этом случае $\sqrt{a} \ge 1$, и $\sqrt{a}-1$ неотрицательно. Тогда $|\sqrt{a}-1| = \sqrt{a}-1$.

Выражение становится равным: $(\sqrt{a}+1) + (\sqrt{a}-1) + 4 = \sqrt{a}+1+\sqrt{a}-1+4 = 2\sqrt{a}+4$.

Ответ: Выражение равно 6 при $0 \le a < 1$, и равно $2\sqrt{a}+4$ при $a \ge 1$. В виде системы: $\begin{cases} 6, & \text{если } 0 \le a < 1 \\ 2\sqrt{a}+4, & \text{если } a \ge 1 \end{cases}$