Номер 125, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 125, страница 23.

Условие.

125. Решите уравнение:

1) $x^2 + 5x - 14 = 0;$

2) $x^2 - 14x + 40 = 0;$

3) $3y^2 - 13y + 4 = 0;$

4) $12m^2 + m - 6 = 0;$

5) $x^2 + 6x - 2 = 0;$

6) $3x^2 - 4x - 5 = 0;$

7) $25x^2 + 60x + 36 = 0;$

8) $x^2 - 8x + 18 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 + 5x - 14 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.
Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-14$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: $-7; 2$.

2) $x^2 - 14x + 40 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-14$, $c=40$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Ответ: $4; 10$.

3) $3y^2 - 13y + 4 = 0$
Это полное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-13$, $c=4$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$.
$y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}; 4$.

4) $12m^2 + m - 6 = 0$
Это полное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
Коэффициенты: $a=12$, $b=1$, $c=-6$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-6) = 1 + 288 = 289$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{289} = 17$.
Найдем корни по формуле $m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$m_1 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 12} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
$m_2 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 12} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}; \frac{2}{3}$.

5) $x^2 + 6x - 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
Коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-2$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 11}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -3 \pm \sqrt{11}$.
$x_1 = -3 + \sqrt{11}$.
$x_2 = -3 - \sqrt{11}$.
Ответ: $-3 \pm \sqrt{11}$.

6) $3x^2 - 4x - 5 = 0$
Это полное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-4$, $c=-5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 16 + 60 = 76$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 19}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{19})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{19}}{3}$.
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$.
$x_2 = \frac{2 - \sqrt{19}}{3}$.
Ответ: $\frac{2 \pm \sqrt{19}}{3}$.

7) $25x^2 + 60x + 36 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$25x^2 + 60x + 36 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 6 + 6^2 = (5x + 6)^2$.
Уравнение принимает вид: $(5x + 6)^2 = 0$.
$5x + 6 = 0$
$5x = -6$
$x = -\frac{6}{5} = -1.2$.
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: $-1.2$.

8) $x^2 - 8x + 18 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=18$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.