Номер 132, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат первого из них на 26 больше произведения второго и третьего чисел.

Пусть первое из трех последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число будет $n + 1$, а третье — $n + 2$. По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \mathbb{N}$ и $n \ge 1$.

Согласно условию задачи, удвоенный квадрат первого числа на 26 больше произведения второго и третьего чисел. Составим уравнение на основе этого условия:

$2n^2 = (n + 1)(n + 2) + 26$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки в правой части:

$(n + 1)(n + 2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$2n^2 = (n^2 + 3n + 2) + 26$

$2n^2 = n^2 + 3n + 28$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2n^2 - n^2 - 3n - 28 = 0$

$n^2 - 3n - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

По условию задачи мы ищем натуральные числа. Корень $n_2 = -4$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи. Корень $n_1 = 7$ является натуральным числом, поэтому это и есть первое искомое число.

Найдем остальные два числа:

Второе число: $n + 1 = 7 + 1 = 8$

Третье число: $n + 2 = 7 + 2 = 9$

Таким образом, искомые три последовательных натуральных числа — это 7, 8 и 9.

Выполним проверку. Удвоенный квадрат первого числа: $2 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98$. Произведение второго и третьего чисел: $8 \cdot 9 = 72$. Разница между этими значениями: $98 - 72 = 26$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7, 8, 9.