Номер 134, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 134, страница 24.

Условие.

134. Сколько сторон имеет многоугольник, если в нём можно провести 20 диагоналей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $n$ — количество сторон (и вершин) многоугольника. Количество диагоналей $d$ в выпуклом $n$-угольнике можно найти по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2}$

По условию задачи, количество диагоналей равно 20, то есть $d=20$. Подставим это значение в формулу и получим уравнение для нахождения $n$: $20 = \frac{n(n-3)}{2}$

Для решения этого уравнения сначала умножим обе его части на 2: $40 = n(n-3)$

Теперь раскроем скобки и перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $40 = n^2 - 3n$ $n^2 - 3n - 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 13}{2}$

Вычислим оба корня: $n_1 = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $n_2 = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Количество сторон многоугольника $n$ по определению является целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3$). Поэтому корень $n_2 = -5$ не является решением задачи.

Единственный подходящий корень — это $n=8$. Следовательно, искомый многоугольник имеет 8 сторон (это восьмиугольник).

Ответ: 8.