Номер 136, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 136, страница 24.

Условие.

136. Решите уравнение:

1) $x^2 - 6x + \frac{7}{x - 5} = \frac{7}{x - 5} - 5;$

2) $(\sqrt{x - 3})(18x^2 - 9x - 5) = 0;$

3) $(x^2 + 16x)(\sqrt{x - 2})(x^2 - 2x - 24) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 - 6x + \frac{7}{x-5} = \frac{7}{x-5} - 5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x - 5 \neq 0$
$x \neq 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть. Дробные члены $\frac{7}{x-5}$ взаимно уничтожаются.
$x^2 - 6x + \frac{7}{x-5} - \frac{7}{x-5} + 5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$
$\sqrt{D} = 4$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 5$).
Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1

2) $(\sqrt{x-3})(18x^2 - 9x - 5) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.
Рассмотрим два случая:
а) $\sqrt{x-3} = 0$
$x - 3 = 0$
$x = 3$
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$).

б) $18x^2 - 9x - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-5) = 81 + 360 = 441$
$\sqrt{D} = 21$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 21}{2 \cdot 18} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 21}{2 \cdot 18} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
$x_1 = \frac{5}{6}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{5}{6} < 3$.
$x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{1}{3} < 3$.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=3$.

Ответ: 3

3) $(x^2 + 16x)(\sqrt{x-2})(x^2 - 2x - 24) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.
Рассмотрим три случая:
а) $x^2 + 16x = 0$
$x(x + 16) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -16$
Оба корня не удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 2$).

б) $\sqrt{x-2} = 0$
$x - 2 = 0$
$x_3 = 2$
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 2$).

в) $x^2 - 2x - 24 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_4 + x_5 = 2$
$x_4 \cdot x_5 = -24$
Отсюда корни $x_4 = 6$ и $x_5 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x_4 = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$).
Корень $x_5 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 2$).

Объединяя все корни, удовлетворяющие ОДЗ, получаем решения исходного уравнения.

Ответ: 2; 6