Номер 143, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 143, страница 25.

Условие.

143. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) 4 и 9;

2) -3 и 8;

3) $ \frac{2}{3} $ и 5;

4) 0,2 и -6;

5) $ -\frac{4}{9} $ и $ -\frac{1}{6} $;

6) $ 3 - \sqrt{31} $ и $ 3 + \sqrt{31} $;

7) $ \sqrt{5} $ и $ -\sqrt{5} $;

8) $ -11 - 2\sqrt{3} $ и $ -11 + 2\sqrt{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для составления квадратного уравнения с целыми коэффициентами по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Уравнение имеет вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Если полученные коэффициенты являются дробными числами, то всё уравнение умножается на их наименьший общий знаменатель для получения целых коэффициентов.

1)

Даны корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.

Найдем их сумму:

$S = x_1 + x_2 = 4 + 9 = 13$.

Найдем их произведение:

$P = x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Подставим значения суммы и произведения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - 13x + 36 = 0$.

Коэффициенты 1, -13, 36 являются целыми числами.

Ответ: $x^2 - 13x + 36 = 0$.

2)

Даны корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$.

Найдем их сумму:

$S = x_1 + x_2 = -3 + 8 = 5$.

Найдем их произведение:

$P = x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 8 = -24$.

Составим уравнение:

$x^2 - 5x - 24 = 0$.

Коэффициенты 1, -5, -24 являются целыми числами.

Ответ: $x^2 - 5x - 24 = 0$.

3)

Даны корни $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = 5$.

Найдем их сумму:

$S = x_1 + x_2 = \frac{2}{3} + 5 = \frac{2}{3} + \frac{15}{3} = \frac{17}{3}$.

Найдем их произведение:

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$.

Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \frac{17}{3}x + \frac{10}{3} = 0$.

Чтобы коэффициенты стали целыми, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \left(x^2 - \frac{17}{3}x + \frac{10}{3}\right) = 0 \cdot 3$

$3x^2 - 17x + 10 = 0$.

Ответ: $3x^2 - 17x + 10 = 0$.

4)

Даны корни $x_1 = 0,2$ и $x_2 = -6$. Представим $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{1}{5}$.

Найдем сумму корней:

$S = x_1 + x_2 = \frac{1}{5} + (-6) = \frac{1}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{29}{5}$.

Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{5} \cdot (-6) = -\frac{6}{5}$.

Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \left(-\frac{29}{5}\right)x + \left(-\frac{6}{5}\right) = 0$

$x^2 + \frac{29}{5}x - \frac{6}{5} = 0$.

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы получить целые коэффициенты:

$5 \left(x^2 + \frac{29}{5}x - \frac{6}{5}\right) = 0 \cdot 5$

$5x^2 + 29x - 6 = 0$.

Ответ: $5x^2 + 29x - 6 = 0$.

5)

Даны корни $x_1 = -\frac{4}{9}$ и $x_2 = -\frac{1}{6}$.

Найдем их сумму:

$S = x_1 + x_2 = -\frac{4}{9} - \frac{1}{6} = -\frac{8}{18} - \frac{3}{18} = -\frac{11}{18}$.

Найдем их произведение:

$P = x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$.

Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \left(-\frac{11}{18}\right)x + \frac{2}{27} = 0$

$x^2 + \frac{11}{18}x + \frac{2}{27} = 0$.

Наименьший общий знаменатель дробей 18 и 27 равен 54. Умножим обе части уравнения на 54:

$54 \left(x^2 + \frac{11}{18}x + \frac{2}{27}\right) = 0 \cdot 54$

$54x^2 + 54 \cdot \frac{11}{18}x + 54 \cdot \frac{2}{27} = 0$

$54x^2 + 3 \cdot 11x + 2 \cdot 2 = 0$

$54x^2 + 33x + 4 = 0$.

Ответ: $54x^2 + 33x + 4 = 0$.

6)

Даны корни $x_1 = 3 - \sqrt{31}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{31}$.

Найдем их сумму:

$S = x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{31}) + (3 + \sqrt{31}) = 3 + 3 = 6$.

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$P = x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{31})(3 + \sqrt{31}) = 3^2 - (\sqrt{31})^2 = 9 - 31 = -22$.

Составим уравнение:

$x^2 - 6x - 22 = 0$.

Коэффициенты 1, -6, -22 являются целыми числами.

Ответ: $x^2 - 6x - 22 = 0$.

7)

Даны корни $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Найдем их сумму:

$S = x_1 + x_2 = \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0$.

Найдем их произведение:

$P = x_1 \cdot x_2 = \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) = -(\sqrt{5})^2 = -5$.

Составим уравнение:

$x^2 - 0 \cdot x + (-5) = 0$

$x^2 - 5 = 0$.

Коэффициенты 1, 0, -5 являются целыми числами.

Ответ: $x^2 - 5 = 0$.

8)

Даны корни $x_1 = -11 - 2\sqrt{3}$ и $x_2 = -11 + 2\sqrt{3}$.

Найдем их сумму:

$S = x_1 + x_2 = (-11 - 2\sqrt{3}) + (-11 + 2\sqrt{3}) = -11 - 11 = -22$.

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов:

$P = x_1 \cdot x_2 = (-11 - 2\sqrt{3})(-11 + 2\sqrt{3}) = (-11)^2 - (2\sqrt{3})^2 = 121 - 4 \cdot 3 = 121 - 12 = 109$.

Составим уравнение:

$x^2 - (-22)x + 109 = 0$

$x^2 + 22x + 109 = 0$.

Коэффициенты 1, 22, 109 являются целыми числами.

Ответ: $x^2 + 22x + 109 = 0$.