Номер 142, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 142, страница 25.

Условие.

142. Найдите коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$,

если его корнями являются числа:

1) $-7$ и $14$;

2) $\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту $b$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $c$.

Формулы Виета:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Из этих формул мы можем выразить коэффициенты $b$ и $c$ через корни:

$b = -(x_1 + x_2)$

$c = x_1 \cdot x_2$

Теперь применим эти формулы для каждого случая.

1) Корнями уравнения являются числа $-7$ и $14$.

Пусть $x_1 = -7$ и $x_2 = 14$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -7 + 14 = 7$

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = -(x_1 + x_2) = -7$

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 14 = -98$

Коэффициент $c$ равен произведению корней:

$c = x_1 \cdot x_2 = -98$

Таким образом, для корней $-7$ и $14$ коэффициенты уравнения равны $b = -7$ и $c = -98$.

Ответ: $b = -7, c = -98$.

2) Корнями уравнения являются числа $\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{2}$.

Пусть $x_1 = \frac{1}{6}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Найдем сумму корней. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{6} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = -(x_1 + x_2) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{12}$

Коэффициент $c$ равен произведению корней:

$c = x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{12}$

Таким образом, для корней $\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{2}$ коэффициенты уравнения равны $b = \frac{1}{3}$ и $c = -\frac{1}{12}$.

Ответ: $b = \frac{1}{3}, c = -\frac{1}{12}$.