Номер 135, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 135, страница 24.

Условие.

135. Решите уравнение:

1) $|x^2 - x - 1| = 1$;

2) $x^2 - 2|x| - 8 = 0$;

3) $x|x| + 8x - 7 = 0$;

4) $x^2 + 7\sqrt{x^2} - 18 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $|x^2 - x - 1| = 1$

Уравнение вида $|f(x)| = a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = a$ и $f(x) = -a$.

Рассмотрим два случая:

а) $x^2 - x - 1 = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

б) $x^2 - x - 1 = -1$

Перенесем -1 в левую часть:

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 1$.

Объединяя все найденные корни, получаем итоговое решение.

Ответ: $-1; 0; 1; 2$.

2) $x^2 - 2|x| - 8 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение, заменив $x^2$ на $|x|^2$:

$|x|^2 - 2|x| - 8 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

Получаем уравнение:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -8$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Остается один корень для $t$: $t = 4$.

Выполним обратную замену:

$|x| = 4$

Это уравнение имеет два решения: $x = 4$ и $x = -4$.

Ответ: $-4; 4$.

3) $x|x| + 8x - 7 = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot x + 8x - 7 = 0$

$x^2 + 8x - 7 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 64 + 28 = 92$.

Корни: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{92}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{23}}{2} = -4 \pm \sqrt{23}$.

Получаем два корня: $x_1 = -4 + \sqrt{23}$ и $x_2 = -4 - \sqrt{23}$.

Проверим, удовлетворяют ли они условию $x \ge 0$.

Так как $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{23} > \sqrt{16}$, то $\sqrt{23} > 4$. Следовательно, $x_1 = -4 + \sqrt{23} > 0$. Этот корень подходит.

Корень $x_2 = -4 - \sqrt{23}$ очевидно отрицательный, поэтому он не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x(-x) + 8x - 7 = 0$

$-x^2 + 8x - 7 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 8$ и $x_3 \cdot x_4 = 7$. Корни: $x_3 = 1$ и $x_4 = 7$.

Оба корня положительные, следовательно, они не удовлетворяют условию $x < 0$. В этом случае решений нет.

Единственным решением исходного уравнения является корень из первого случая.

Ответ: $-4 + \sqrt{23}$.

4) $x^2 + 7\sqrt{x^2} - 18 = 0$

Воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда $\sqrt{x^2} = |x|$.

Также учтем, что $x^2 = |x|^2$. Перепишем уравнение:

$|x|^2 + 7|x| - 18 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 7t - 18 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -7$ и $t_1 \cdot t_2 = -18$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -9$.

Корень $t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним.

Остается $t = 2$. Выполним обратную замену:

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два решения: $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ: $-2; 2$.