Номер 133, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если утроенное произведение второго и третьего чисел на 344 больше произведения первого и четвёртого чисел.

Пусть искомые четыре последовательных чётных натуральных числа можно представить в виде $x-3$, $x-1$, $x+1$, $x+3$. Такая запись удобна, так как числа симметричны относительно $x$. Чтобы эти числа были чётными, $x$ должно быть нечётным числом. Чтобы они были натуральными, наименьшее из них, $x-3$, должно быть больше нуля, то есть $x > 3$.

В этой последовательности:

• первое число: $x-3$
• второе число: $x-1$
• третье число: $x+1$
• четвёртое число: $x+3$

Согласно условию задачи, утроенное произведение второго и третьего чисел на 344 больше произведения первого и четвёртого. Составим уравнение на основе этого условия:

$3 \cdot (x-1)(x+1) = (x-3)(x+3) + 344$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$3(x^2 - 1) = (x^2 - 9) + 344$

Теперь упростим полученное уравнение:

$3x^2 - 3 = x^2 + 335$

Перенесём все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$3x^2 - x^2 = 335 + 3$

$2x^2 = 338$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 169$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{169} = 13$

$x_2 = -\sqrt{169} = -13$

Как мы определили в начале, $x$ должно быть нечётным числом и $x > 3$. Корень $x = -13$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственным подходящим решением является $x=13$.

Теперь, зная $x$, найдём искомые четыре числа:

Первое число: $x - 3 = 13 - 3 = 10$

Второе число: $x - 1 = 13 - 1 = 12$

Третье число: $x + 1 = 13 + 1 = 14$

Четвёртое число: $x + 3 = 13 + 3 = 16$

Таким образом, искомые числа — это 10, 12, 14, 16.

Проверим найденное решение. Утроенное произведение второго и третьего чисел: $3 \cdot (12 \cdot 14) = 3 \cdot 168 = 504$. Произведение первого и четвёртого чисел: $10 \cdot 16 = 160$. Разница между ними: $504 - 160 = 344$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 10, 12, 14, 16.