Номер 131, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 131, страница 24.

Условие.

131. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 23 см, а диагональ прямоугольника – 37 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

По условию задачи, их разность равна 23 см. Предположим, что $a$ — большая сторона, тогда мы можем записать первое уравнение:
$a - b = 23$

Диагональ прямоугольника, вместе с двумя его сторонами, образует прямоугольный треугольник, где стороны $a$ и $b$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = d^2$

Поскольку диагональ равна 37 см, наше второе уравнение выглядит так:
$a^2 + b^2 = 37^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} a - b = 23 \\ a^2 + b^2 = 37^2 \end{cases} $

Выразим $a$ из первого уравнения:
$a = b + 23$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(b + 23)^2 + b^2 = 37^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. $23^2 = 529$ и $37^2 = 1369$.
$(b^2 + 2 \cdot b \cdot 23 + 23^2) + b^2 = 1369$
$b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369$
$2b^2 + 46b + 529 - 1369 = 0$
$2b^2 + 46b - 840 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:
$b^2 + 23b - 420 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209$
$\sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47$

Найдем корни уравнения:
$b_1 = \frac{-23 - 47}{2 \cdot 1} = \frac{-70}{2} = -35$
$b_2 = \frac{-23 + 47}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$

Так как длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, значение $b_1 = -35$ нам не подходит. Следовательно, одна из сторон равна 12 см.

Теперь найдем вторую сторону $a$:
$a = b + 23 = 12 + 23 = 35$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см.