Номер 126, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1 - номер 126, страница 23.

Условие.

126. Решите уравнение:

1) $(4x + 1)(x - 3) = 12;$

2) $(x + 2)(x - 3) - (2x - 5)(x + 3) = x(x - 5);$

3) $(6x - 5)^2 + (3x - 2)(3x + 2) = 36.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(4x+1)(x-3)=12$

Раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив многочлены:

$4x \cdot x + 4x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) = 12$

$4x^2 - 12x + x - 3 = 12$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$4x^2 - 11x - 3 - 12 = 0$

$4x^2 - 11x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=4$, $b=-11$, $c=-15$.

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 121 + 240 = 361$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 19}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{361}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 19}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{15}{4}$, $x_2 = -1$.

2) $(x+2)(x-3)-(2x-5)(x+3) = x(x-5)$

Раскроем все скобки в уравнении:

$(x^2 - 3x + 2x - 6) - (2x^2 + 6x - 5x - 15) = x^2 - 5x$

Упростим выражения в скобках:

$(x^2 - x - 6) - (2x^2 + x - 15) = x^2 - 5x$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$x^2 - x - 6 - 2x^2 - x + 15 = x^2 - 5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 - 2x + 9 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы сгруппировать их и получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 5x + x^2 + 2x - 9$

$2x^2 - 3x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Здесь $a=2$, $b=-3$, $c=-9$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.

3) $(6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим формулу квадрата разности к первому слагаемому: $(6x-5)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 5 + 5^2 = 36x^2 - 60x + 25$.

Применим формулу разности квадратов ко второму слагаемому: $(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(36x^2 - 60x + 25) + (9x^2 - 4) = 36$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36$

$45x^2 - 60x + 21 = 36$

Перенесем 36 в левую часть:

$45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0$

$45x^2 - 60x - 15 = 0$

Для упрощения уравнения разделим все его члены на их наибольший общий делитель, равный 15:

$3x^2 - 4x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Здесь $a=3$, $b=-4$, $c=-1$.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2(2 \pm \sqrt{7})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$.