Номер 130, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 130, страница 24.

Условие.

130. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 14 см больше другого катета и на 2 см меньше гипотенузы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть один из катетов, о котором идет речь в условии, равен $x$ см. Тогда, согласно условию, другой катет на 14 см короче, то есть его длина составляет $(x - 14)$ см. Гипотенуза на 2 см длиннее этого же катета, следовательно, ее длина равна $(x + 2)$ см.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами: катет $a = (x - 14)$ см, катет $b = x$ см, гипотенуза $c = (x + 2)$ см. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, должно выполняться условие $x - 14 > 0$, откуда $x > 14$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим выражения для сторон в это равенство:
$(x - 14)^2 + x^2 = (x + 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения, и упростим уравнение:
$(x^2 - 28x + 196) + x^2 = x^2 + 4x + 4$
$2x^2 - 28x + 196 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 - 28x - 4x + 196 - 4 = 0$
$x^2 - 32x + 192 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 1024 - 768 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-(-32) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{32 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$x_2 = \frac{-(-32) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{32 - 16}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Теперь проверим, какой из корней подходит по условию задачи. Если $x = 8$, то длина одного из катетов будет $x - 14 = 8 - 14 = -6$ см. Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

Если $x = 24$, то этот корень удовлетворяет ранее установленному условию $x > 14$. Найдем длины сторон треугольника:
Первый катет: $x - 14 = 24 - 14 = 10$ см.
Второй катет: $x = 24$ см.
Гипотенуза: $x + 2 = 24 + 2 = 26$ см.

Проверим полученные стороны по теореме Пифагора: $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$. Квадрат гипотенузы: $26^2 = 676$. Равенство $676 = 676$ верно.

Ответ: стороны прямоугольного треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см.