Номер 137, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{x^2 + 3x - 10} + \sqrt{x^2 - 10x + 16} = 0; $

2) $ x^2 - 12x + 36 + |x^2 - 4x - 12| = 0; $

3) $ \sqrt{x^2 - 121} + |x^2 + 2x - 63| = 0. $

1) $ \sqrt{x^2 + 3x - 10} + \sqrt{x^2 - 10x + 16} = 0 $

Сумма двух неотрицательных выражений (квадратных корней) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Это означает, что оба подкоренных выражения должны быть равны нулю одновременно. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 3x - 10 = 0 \\ x^2 - 10x + 16 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы: $ x^2 + 3x - 10 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $.

Корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} $.

$ x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $

$ x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

Итак, корни первого уравнения: $ -5 $ и $ 2 $.

Теперь решим второе уравнение системы: $ x^2 - 10x + 16 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 = 6^2 $.

Корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 6}{2} $.

$ x_3 = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

$ x_4 = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 $

Итак, корни второго уравнения: $ 2 $ и $ 8 $.

Решением системы является значение $ x $, которое является корнем обоих уравнений. Сравнивая множества корней $ \{-5, 2\} $ и $ \{2, 8\} $, видим, что общим корнем является $ x = 2 $.

Ответ: $ x = 2 $.

2) $ x^2 - 12x + 36 + |x^2 - 4x - 12| = 0 $

Заметим, что выражение $ x^2 - 12x + 36 $ является полным квадратом разности: $ x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x - 6)^2 $.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ (x - 6)^2 + |x^2 - 4x - 12| = 0 $

Выражение $ (x - 6)^2 $ всегда неотрицательно, то есть $ (x - 6)^2 \geq 0 $. Модуль любого выражения также всегда неотрицателен, то есть $ |x^2 - 4x - 12| \geq 0 $. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} (x - 6)^2 = 0 \\ x^2 - 4x - 12 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения $ (x - 6)^2 = 0 $ следует, что $ x - 6 = 0 $, откуда $ x = 6 $.

Подставим найденное значение $ x = 6 $ во второе уравнение, чтобы проверить, является ли оно его корнем:

$ 6^2 - 4(6) - 12 = 36 - 24 - 12 = 12 - 12 = 0 $

Равенство $ 0 = 0 $ верное, значит, $ x = 6 $ является решением и второго уравнения.

Следовательно, $ x = 6 $ — единственное решение системы и исходного уравнения.

Ответ: $ x = 6 $.

3) $ \sqrt{x^2 - 121} + |x^2 + 2x - 63| = 0 $

Как и в предыдущих случаях, слагаемые в левой части уравнения неотрицательны. Квадратный корень $ \sqrt{x^2 - 121} \geq 0 $ и модуль $ |x^2 + 2x - 63| \geq 0 $. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 121} = 0 \\ |x^2 + 2x - 63| = 0 \end{cases} $

Эта система, в свою очередь, равносильна следующей системе:

$ \begin{cases} x^2 - 121 = 0 \\ x^2 + 2x - 63 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение: $ x^2 - 121 = 0 $.

$ x^2 = 121 $, откуда $ x_1 = 11 $ и $ x_2 = -11 $.

Решим второе уравнение: $ x^2 + 2x - 63 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2 $.

Корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 16}{2} $.

$ x_3 = \frac{-2 - 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $

$ x_4 = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7 $

Итак, корни второго уравнения: $ -9 $ и $ 7 $.

Решением системы является общее решение обоих уравнений. Сравним множества корней первого уравнения $ \{11, -11\} $ и второго уравнения $ \{-9, 7\} $. Общих корней нет.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет корней.