Номер 140, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. При каких значениях $b$ имеет единственный корень уравнение:

1) $bx^2 - 3x - 7 = 0;$

2) $(b+1)x^2 + (b+3)x + 2 = 0;$

3) $(b+5)x^2 + (2b+10)x + 4 = 0?$

Уравнение с параметром вида $Ax^2+Bx+C=0$ имеет единственный корень в двух случаях:

1. Если уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю ($A=0$), и при этом коэффициент при $x$ не равен нулю ($B \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $Bx+C=0$ и имеет один корень $x = -\frac{C}{B}$.
2. Если уравнение является квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($A \neq 0$), и его дискриминант равен нулю ($D = B^2 - 4AC = 0$). В этом случае уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня) $x = -\frac{B}{2A}$.

Проанализируем каждое уравнение, учитывая оба этих случая.

1) $bx^2 - 3x - 7 = 0$

Случай 1: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b=0$.
Подставим $b=0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 - 3x - 7 = 0$
$-3x - 7 = 0$
$-3x = 7$
$x = -\frac{7}{3}$
Уравнение имеет один корень. Следовательно, $b=0$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.
Это происходит, когда $b \neq 0$ и дискриминант $D$ равен нулю.
Коэффициенты уравнения: $a=b$, $b_{коэф}=-3$, $c=-7$.
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot b \cdot (-7) = 9 + 28b$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$9 + 28b = 0$
$28b = -9$
$b = -\frac{9}{28}$
Это значение не равно нулю, поэтому условие $b \neq 0$ выполняется.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственный корень при двух значениях $b$.

Ответ: $b=0$ или $b = -\frac{9}{28}$.

2) $(b+1)x^2 + (b+3)x + 2 = 0$

Случай 1: Уравнение является линейным.
Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю: $b+1 = 0$, откуда $b = -1$.
Подставим $b=-1$ в уравнение:
$(-1+1)x^2 + (-1+3)x + 2 = 0$
$0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$
Уравнение имеет один корень. Следовательно, $b=-1$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.
Это происходит, когда $b+1 \neq 0$ (то есть $b \neq -1$) и $D=0$.
Коэффициенты: $a = b+1$, $b_{коэф} = b+3$, $c=2$.
Найдем дискриминант: $D = (b+3)^2 - 4(b+1) \cdot 2 = b^2 + 6b + 9 - 8b - 8 = b^2 - 2b + 1$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$b^2 - 2b + 1 = 0$
$(b-1)^2 = 0$
$b-1 = 0$
$b=1$
Это значение не равно $-1$, поэтому условие $b \neq -1$ выполняется.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственный корень при двух значениях $b$.

Ответ: $b=-1$ или $b=1$.

3) $(b+5)x^2 + (2b+10)x + 4 = 0$

Случай 1: Уравнение является линейным.
Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю: $b+5 = 0$, откуда $b = -5$.
Подставим $b=-5$ в уравнение:
$(-5+5)x^2 + (2(-5)+10)x + 4 = 0$
$0 \cdot x^2 + (-10+10)x + 4 = 0$
$0 \cdot x + 4 = 0$
$4 = 0$
Получили неверное равенство. Это означает, что при $b=-5$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.
Это происходит, когда $b+5 \neq 0$ (то есть $b \neq -5$) и $D=0$.
Коэффициенты: $a = b+5$, $b_{коэф} = 2b+10 = 2(b+5)$, $c=4$.
Найдем дискриминант: $D = (2b+10)^2 - 4 \cdot (b+5) \cdot 4 = (2(b+5))^2 - 16(b+5) = 4(b+5)^2 - 16(b+5)$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$4(b+5)^2 - 16(b+5) = 0$
Вынесем общий множитель $4(b+5)$ за скобки:
$4(b+5)((b+5)-4) = 0$
$4(b+5)(b+1) = 0$
Это равенство верно при $b=-5$ или $b=-1$.
Однако мы рассматриваем случай, когда уравнение является квадратным, то есть $b \neq -5$. Поэтому значение $b=-5$ мы должны исключить. Остается только $b=-1$.

Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень только при одном значении $b$.

Ответ: $b=-1$.