Номер 139, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $x^2 + (1 - 5a)x + 4a^2 - a = 0;$

2) $x^2 - (3a + 4)x + 12a = 0;$

3) $2(a - 1)x^2 + (a + 1)x + 1 = 0.$

1) $x^2 + (1 - 5a)x + 4a^2 - a = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=1-5a$, $C=4a^2-a$. Найдем дискриминант $D$:
$D = B^2 - 4AC = (1-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - a) = (1 - 10a + 25a^2) - (16a^2 - 4a) = 1 - 10a + 25a^2 - 16a^2 + 4a = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$.
Поскольку $D = (3a - 1)^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем корни по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x = \frac{-(1-5a) \pm \sqrt{(3a-1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5a - 1 \pm (3a - 1)}{2}$.
Вычислим два корня:
$x_1 = \frac{5a - 1 + (3a - 1)}{2} = \frac{8a - 2}{2} = 4a - 1$.
$x_2 = \frac{5a - 1 - (3a - 1)}{2} = \frac{5a - 1 - 3a + 1}{2} = \frac{2a}{2} = a$.
Корни уравнения совпадают, когда $D=0$, то есть когда $3a-1=0$, что дает $a = 1/3$. В этом случае $x = a = 4a-1 = 1/3$.
Ответ: при $a = 1/3$ уравнение имеет один корень $x = 1/3$; при $a \neq 1/3$ уравнение имеет два корня $x_1 = a$ и $x_2 = 4a - 1$.

2) $x^2 - (3a + 4)x + 12a = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Можно решить его, используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.
Способ 1: Теорема Виета.
Сумма корней $x_1 + x_2 = 3a + 4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12a$. Легко подобрать корни, которые удовлетворяют этим условиям: $x_1 = 4$ и $x_2 = 3a$.
Проверка: $x_1 + x_2 = 4 + 3a$, $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (3a) = 12a$. Условия выполняются.
Способ 2: Через дискриминант.
$A=1$, $B=-(3a+4)$, $C=12a$.
$D = B^2 - 4AC = (-(3a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12a) = (9a^2 + 24a + 16) - 48a = 9a^2 - 24a + 16 = (3a - 4)^2$.
Так как $D = (3a-4)^2 \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
$x = \frac{-(-(3a+4)) \pm \sqrt{(3a-4)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{3a+4 \pm (3a-4)}{2}$.
$x_1 = \frac{3a+4 + (3a-4)}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$.
$x_2 = \frac{3a+4 - (3a-4)}{2} = \frac{3a+4 - 3a+4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Корни совпадают при $D=0$, то есть при $3a-4=0$, что дает $a = 4/3$. В этом случае $x=4$.
Ответ: при $a = 4/3$ уравнение имеет один корень $x = 4$; при $a \neq 4/3$ уравнение имеет два корня $x_1 = 4$ и $x_2 = 3a$.

3) $2(a - 1)x^2 + (a + 1)x + 1 = 0$
Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $2(a-1) = 0$, то есть $a = 1$. Подставим $a=1$ в исходное уравнение:
$2(1-1)x^2 + (1+1)x + 1 = 0$
$2x + 1 = 0$
$x = -1/2$.
Случай 2: Уравнение является квадратным.
Это происходит при $a \neq 1$. Найдем дискриминант $D$:
$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 2(a-1) \cdot 1 = a^2 + 2a + 1 - 8a + 8 = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.
Поскольку $D = (a-3)^2 \ge 0$, при $a \neq 1$ уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем корни по формуле:
$x = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{(a-3)^2}}{4(a-1)} = \frac{-(a+1) \pm (a-3)}{4(a-1)}$.
$x_1 = \frac{-(a+1) + (a-3)}{4(a-1)} = \frac{-a-1+a-3}{4(a-1)} = \frac{-4}{4(a-1)} = \frac{-1}{a-1}$.
$x_2 = \frac{-(a+1) - (a-3)}{4(a-1)} = \frac{-a-1-a+3}{4(a-1)} = \frac{-2a+2}{4(a-1)} = \frac{-2(a-1)}{4(a-1)} = -1/2$.
Корни совпадают, когда $D=0$, то есть при $a=3$. В этом случае $x_1 = x_2 = -1/2$.
Объединим результаты:
- Если $a=1$, есть один корень $x = -1/2$.
- Если $a=3$, есть один корень $x = -1/2$.
- Если $a \neq 1$ и $a \neq 3$, есть два различных корня: $x_1 = -1/2$ и $x_2 = \frac{-1}{a-1}$.
Ответ: при $a=1$ или $a=3$ корень $x = -1/2$; при $a \neq 1$ и $a \neq 3$ корни $x_1 = -1/2$ и $x_2 = \frac{-1}{a-1}$.