Номер 141, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 141, страница 25.

Условие.

141. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 17x - 38 = 0$;

2) $x^2 - 16x + 4 = 0$;

3) $3x^2 - 8x - 14 = 0$;

4) $7x^2 + 23x + 5 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, не решая его, используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если у уравнения есть действительные корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение вычисляются по формулам:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для применения этих формул необходимо, чтобы уравнение имело действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

1) $x^2 + 17x - 38 = 0$
В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 17$, $c = -38$.
Сначала проверим, есть ли у уравнения корни. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-38) = 289 + 152 = 441$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Теперь найдем их сумму и произведение по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{17}{1} = -17$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-38}{1} = -38$.
Ответ: сумма корней равна -17, произведение корней равно -38.

2) $x^2 - 16x + 4 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -16$, $c = 4$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 256 - 16 = 240$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-16}{1}) = 16$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: сумма корней равна 16, произведение корней равно 4.

3) $3x^2 - 8x - 14 = 0$
Коэффициенты: $a = 3$, $b = -8$, $c = -14$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 64 + 168 = 232$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-8}{3}) = \frac{8}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-14}{3} = -\frac{14}{3}$.
Ответ: сумма корней равна $\frac{8}{3}$, произведение корней равно $-\frac{14}{3}$.

4) $7x^2 + 23x + 5 = 0$
Коэффициенты: $a = 7$, $b = 23$, $c = 5$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 529 - 140 = 389$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{23}{7}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{7}$.
Ответ: сумма корней равна $-\frac{23}{7}$, произведение корней равно $\frac{5}{7}$.