Номер 116, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 116, страница 22.

Условие.

116. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(4 - \sqrt{3})^2};$

2) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2};$

3) $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{8})^2};$

4) $\sqrt{(8 - \sqrt{11})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{11})^2};$

5) $\sqrt{(\sqrt{23} - 7)^2} - \sqrt{(\sqrt{23} - 3)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(4 - \sqrt{3})^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, получаем $\sqrt{(4 - \sqrt{3})^2} = |4 - \sqrt{3}|$. Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения под ним. Сравним числа $4$ и $\sqrt{3}$. Так как $4^2 = 16$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $16 > 3$, то $4 > \sqrt{3}$. Следовательно, разность $4 - \sqrt{3}$ является положительным числом. Поэтому, $|4 - \sqrt{3}| = 4 - \sqrt{3}$.
Ответ: $4 - \sqrt{3}$

2) Упростим выражение $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2}$. Применяем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, что дает нам $|2 - \sqrt{7}|$. Далее необходимо определить знак выражения $2 - \sqrt{7}$. Сравним $2$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба числа в квадрат: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$. Это означает, что разность $2 - \sqrt{7}$ отрицательна. По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Следовательно, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = -2 + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2$.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{8})^2}$. Используя правило $\sqrt{a^2} = |a|$, преобразуем его в $|\sqrt{6} - \sqrt{8}|$. Для раскрытия модуля сравним значения $\sqrt{6}$ и $\sqrt{8}$. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, и $6 < 8$, то $\sqrt{6} < \sqrt{8}$. Следовательно, разность $\sqrt{6} - \sqrt{8}$ отрицательна. Раскрываем модуль со знаком минус: $|\sqrt{6} - \sqrt{8}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{8}) = -\sqrt{6} + \sqrt{8} = \sqrt{8} - \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{8} - \sqrt{6}$

4) Упростим выражение $\sqrt{(8 - \sqrt{11})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{11})^2}$. Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулу $\sqrt{a^2}=|a|$.
Первое слагаемое: $\sqrt{(8 - \sqrt{11})^2} = |8 - \sqrt{11}|$. Сравним $8$ и $\sqrt{11}$. Так как $8^2=64$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$, то $8 > \sqrt{11}$. Значит, $8 - \sqrt{11} > 0$, и $|8 - \sqrt{11}| = 8 - \sqrt{11}$.
Второе слагаемое: $\sqrt{(3 - \sqrt{11})^2} = |3 - \sqrt{11}|$. Сравним $3$ и $\sqrt{11}$. Так как $3^2=9$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$, то $3 < \sqrt{11}$. Значит, $3 - \sqrt{11} < 0$, и $|3 - \sqrt{11}| = -(3 - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - 3$.
Теперь сложим полученные выражения: $(8 - \sqrt{11}) + (\sqrt{11} - 3) = 8 - \sqrt{11} + \sqrt{11} - 3 = 5$.
Ответ: $5$

5) Рассмотрим выражение $\sqrt{(\sqrt{23} - 7)^2} - \sqrt{(\sqrt{23} - 3)^2}$. Упростим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, используя $\sqrt{a^2}=|a|$.
Уменьшаемое: $\sqrt{(\sqrt{23} - 7)^2} = |\sqrt{23} - 7|$. Сравним $\sqrt{23}$ и $7$. Так как $(\sqrt{23})^2 = 23$ и $7^2 = 49$, то $\sqrt{23} < 7$. Следовательно, $\sqrt{23} - 7 < 0$ и $|\sqrt{23} - 7| = -(\sqrt{23} - 7) = 7 - \sqrt{23}$.
Вычитаемое: $\sqrt{(\sqrt{23} - 3)^2} = |\sqrt{23} - 3|$. Сравним $\sqrt{23}$ и $3$. Так как $(\sqrt{23})^2 = 23$ и $3^2 = 9$, то $\sqrt{23} > 3$. Следовательно, $\sqrt{23} - 3 > 0$ и $|\sqrt{23} - 3| = \sqrt{23} - 3$.
Теперь выполним вычитание: $(7 - \sqrt{23}) - (\sqrt{23} - 3) = 7 - \sqrt{23} - \sqrt{23} + 3 = 10 - 2\sqrt{23}$.
Ответ: $10 - 2\sqrt{23}$