Номер 114, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 114, страница 22.

Условие.

114. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} \ge 4;$

2) $\sqrt{x} < 3;$

3) $7 < \sqrt{x} \le 10?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} \ge 4$.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Поскольку обе части неравенства $\sqrt{x} \ge 4$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{x})^2 \ge 4^2$

$x \ge 16$

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x \ge 0$). Решение $x \ge 16$ полностью удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, решением неравенства является $x \ge 16$.

Ответ: $x \in [16; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} < 3$.

Область допустимых значений для этого неравенства также определяется условием $x \ge 0$.

Обе части неравенства $\sqrt{x} < 3$ неотрицательны (поскольку $\sqrt{x}$ по определению не может быть отрицательным, а число 3 положительно). Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 < 3^2$

$x < 9$

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ ($x \ge 0$). Мы имеем систему неравенств:

$\begin{cases} x < 9 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $0 \le x < 9$.

Ответ: $x \in [0; 9)$.

3) Рассмотрим двойное неравенство $7 < \sqrt{x} \le 10$.

Область допустимых значений: $x \ge 0$.

Все три части двойного неравенства ($7$, $\sqrt{x}$ и $10$) являются положительными. Поэтому мы можем возвести все части в квадрат, сохраняя знаки неравенств:

$7^2 < (\sqrt{x})^2 \le 10^2$

$49 < x \le 100$

Полученное решение $49 < x \le 100$ полностью входит в область допустимых значений ($x \ge 0$), так как все числа в этом промежутке положительны.

Ответ: $x \in (49; 100]$.