Номер 107, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 107, страница 21.

Условие.

107. Известно, что $\sqrt{8+a}+\sqrt{3-a}=4$. Найдите значение выражения $\sqrt{(8+a)(3-a)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нам дано равенство $\sqrt{8+a} + \sqrt{3-a} = 4$. Необходимо найти значение выражения $\sqrt{(8+a)(3-a)}$.

Для решения возведем обе части данного равенства в квадрат. Это позволит нам избавиться от части корней и получить выражение, содержащее искомую величину.

$(\sqrt{8+a} + \sqrt{3-a})^2 = 4^2$

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для левой части уравнения:

$(\sqrt{8+a})^2 + 2 \cdot \sqrt{8+a} \cdot \sqrt{3-a} + (\sqrt{3-a})^2 = 16$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что $(\sqrt{b})^2 = b$ (для $b \ge 0$), и свойство корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ (для $x, y \ge 0$), получаем:

$(8+a) + 2\sqrt{(8+a)(3-a)} + (3-a) = 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Переменные $a$ и $-a$ взаимно уничтожаются:

$8 + 3 + a - a + 2\sqrt{(8+a)(3-a)} = 16$

$11 + 2\sqrt{(8+a)(3-a)} = 16$

Теперь выразим искомое значение $\sqrt{(8+a)(3-a)}$. Перенесем 11 в правую часть уравнения:

$2\sqrt{(8+a)(3-a)} = 16 - 11$

$2\sqrt{(8+a)(3-a)} = 5$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти искомое значение:

$\sqrt{(8+a)(3-a)} = \frac{5}{2}$

Таким образом, значение искомого выражения равно 2,5.

Ответ: 2.5